19  Modell zum Alkoholabbau

Nach einer Idee von Wolfgang Ebenhöh

Ein Mensch (Versuchsperson, 70 kg Körpergewicht) trinkt in zwei Stunden eine Flasche Wein (Literflasche) und geht danach schlafen. Wir konstruieren ein einfaches Modell mit zwei hintereinandergeschalteten Teilsystemen mit jeweils Zufluss und Abfluss:

Der Alkohol gelangt zunächst in den Magen-Darm-Trakt, von dort wird er resorbiert und im Blut und der gesamten Körperflüssigkeit verteilt. Die Leber baut ihn langsam ab. Das Modellsystem hat zwei Zustandsvariable (beide in g Alkohol):

  1. Menge Alkohol im Magen-Darm-Trakt

  2. Menge Alkohol im Blut und in der Körperflüssigkeit

Die Zeitentwicklung dieser Zustandsvariablen wird durch Differentialgleichungen (den Modellgleichungen, top level) beschrieben:

\[\begin{aligned} \dot M &=& \mbox{Trinken - Aufnahme}\\ \dot B &=& \mbox{Aufnahme -Abbau} \end{aligned}\]

Die drei Prozesse werden einzeln diskutiert. Die drei Flüsse haben die Einheiten Gramm pro Stunde (\(g/h\)) .
Trinken:

Wein enthält etwa 10% Alkohol, was 100 g Alkohol entspricht (Dies gilt für 10 Grammprozent, meistens ist jedoch auf den Flaschen Volumenprozent angegeben!!). Die Versuchsperson nimmt also 100 g Alkohol in 2 Stunden (\(T=2 h\)) auf und trinkt danach nichts mehr. Der Prozess Trinken ist also zeitabhängig, aber in diesem Rahmen nicht zustandsabhängig:

\[\mbox{Trinken(t)} = \lambda \cdot \delta(t) \qquad \text{mit}\qquad \delta(t) :=\left\lbrace \begin{array}{ll} 1 & 0 \le t \le T \\ 0 & t > T \end{array} \right .\]

Die Funktion \(\delta(t)\) ist dimensionslos1.

Werden in 2 Stunden 100 g Alkohol aufgenommen, so beträgt die Aufnahmerate \(\lambda=50 g/h\).
Aufnahme:

Der Alkohol geht relativ schnell in Blut und Körperflüssigkeit über. Nach einer halben Stunde sei die Hälfte des Alkohols im Blut (Halbwertszeit \(T_H = 0.5 \, h\)). Wir nehmen an, dass die Resorption ein Einbahnstraßenprozess ist. Dann hängt der Fluss von \(M\) nach \(B\) nur von der Menge \(M\) ab:

\[\mbox{Aufnahme(M) } = r \cdot M\]

Die Aufnahmerate \(r\) beträgt dann \(r=\frac{\ln \, 2}{T_H}\).
Abbau:

Der Abbau des Alkohols durch die Leber ist ein komplexer Prozess. Wir machen den Ansatz, dass die Abbaurate über eine Monod-Funktion von der Alkohol- Konzentration C (in ) im Blut abhängt. Die Michaeliskonstante K ist niedrig, das bedeutet, dass auch bei kleinen Konzentrationen die Leber nahezu auf Volllast arbeitet.

\[\mbox{Abbau(C)} = \mu\dfrac{C}{C+K}\]

Die Konzentration \(C\) gewinnen wir aus der Menge \(B\) im Körper, indem wir sie durch die Menge Körperflüssigkeit teilen. Diese beträgt in etwa 2/3 des Körpergewichts \(G\) (in kg). Genauer gilt: der Anteil \(q\) der Körperflüssigkeit ist bei Männern ca. 70% , bei Frauen 60 %.

Der Quotient \[C= \dfrac{B}{qG}\] hat somit die Einheit g/kg=1/1000, was Promille entspricht.

Es müssen noch die Parameter \(\mu\) (maximale Abbaurate in \(g/h\)) und \(K\) (Michaeliskonstante in \(\textperthousand\)) geschätzt werden. Wenn es etwa 10 h dauert, bis die Versuchsperson wieder vollkommen nüchtern ist, muss die Leber 10 g Alkohol pro Stunde abbauen. Eine merkliche Verlangsamung dieser Rate soll erst bei sehr niedrigen Blutalkoholwerten eintreten, also wird \(K\) kaum über \(0.1 \textperthousand\) liegen. Wir nehmen also an, dass \(\mu = 10 g/h\) und \(K=0.1 \textperthousand\) gilt.

Man erhält also folgendes System:

\[\begin{aligned} \dot M &=& \lambda \cdot \delta(t) - r \cdot M \\ \dot B &=& r \cdot M - \mu\dfrac{ \dfrac{B}{qG}}{ \dfrac{B}{qG}+K} \end{aligned}\]

\[\begin{array}{llll} T=2 h \qquad\qquad &T_H = 0.5 h\qquad\qquad & \mu =10 g/h\\ K=0.1 \textperthousand& r = \frac{ln 2}{t_h} &G= 70 \,kg& q\approx0.6 \,(w) \;resp.\; 0.7 \,(m) \end{array}\]

Die beiden Gleichungen sind in dem Sinne entkoppelt, dass die erste von beiden allein gelöst und das Ergebnis für die Lösung der zweiten Gleichung verwendet werden kann. Streng genommen handel es sich bei der ersten nicht um eine Differentialgleichung, da der erste Term einen Knick verursacht und somit die Differenzierbarkeit an dieser Stelle nicht gegeben ist. Die meisten Lösungsverfahren verschmerzen dies. Man kann das System aber auch gleich als Differenzengleichungssystem behandeln, muss dann aber einen Zeitschritt von ca. 0.1 h zugrunde legen.

 

 

 

 

Zeitliche Entwicklung der Alkoholmengen in Magen-Darm-Trakt und in der Körperflüssigkeit (links) und der Entwicklung des Promillegehalts im Blut (rechts) nach einer Zufuhr von 100 g Alkohol über einen Zeitraum von zwei Stunden.

  1. In MatLab Kann man \(\delta(t)\) durch die logische Variable \((t\le T)\) beschreiben, ihr Wert ist 1, wenn die Bedingung erfüllt ist und 0 sonst.↩︎