Anhang E: Vektoren und Matritzen

E.1 Vektoren

In der Ebene oder im Raum kann man Vektoren als Pfeile mit einem Anfangs- und einem Endpunkt (Pfeilspitze) darstellen. Sie werden meist mit kleinen Buchstaben bezeichnet, die fettgedruckt \((\boldsymbol{u}\)) sind, oder wie in der Physik üblich einen kleinen Pfeil (\(\vec{u}\)) haben. Manchmal wird dies aber alles weggelassen, so dass man aus dem Kontext heraus erkennen muss, ob es sich um einen Vektor handelt, oder nicht.

Alle Vektoren, die dieselbe Länge und dieselbe Richtung haben, sind äquivalent.

E.1.1 Vektoren im Koordinatensystem

Wir legen das übliche kartesisches Koordinatensystem zugrunde und betrachten nur den zwei- oder dreidimensionalen Fall, also die Ebene oder den Raum. Die mathematische Realität ist natürlich viel komplizierter und kann hier nicht behandelt werden. Daher ist es wichtig, mal ein Buch oder eine Vorlesung über lineare Algebra zu lesen bzw. zu besuchen.

Sei \(\boldsymbol{v}\) ein Vektor in der Ebene, dessen Anfangspunkt im Koordinatenursprung liegt. Die Koordinaten \((v_1,v_2)\) seines Endpunkts sind dann die Komponenten von \(\boldsymbol{v}\):

\[\boldsymbol{v}=(v_1\;v_2)\]

Hierbei sind \(v_1\) und \(v_2\) reelle Zahlen.

Besondere Vektoren

Nullvektor
\((0\;0)\) 2-dimensional
\((0\;0\;0)\) 3-dimensional.
Der Nullvektor wird häufig auch einfach als \(\boldsymbol{0}\) geschrieben.

Einheitsvektor
\(\boldsymbol{e_1}=(1\;0)\) und \(\boldsymbol{e_2}=(0\;1)\) 2-dimensional
\(\boldsymbol{e_1}= (1\;0\;0)\), \(\boldsymbol{e_2}=(0\;1\;0)\) und \(\boldsymbol{e_3}=(0\;0\;1)\) 3-dimensional.

E.1.2 Rechenregeln für Vektoren

Seien \(\boldsymbol{u}\), \(\boldsymbol{v}\), \(\boldsymbol{w}\) Vektoren desselben Raumes, also hier entweder 2-dimensional oder dreidimensional), so gilt: Addition

\[\begin{aligned} \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}&=\boldsymbol{v}+\boldsymbol{u}\\\nonumber \boldsymbol{u}+0&=u\\\nonumber \boldsymbol{u}+(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w})&=(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})+\boldsymbol{w}\\\nonumber \end{aligned}\]

Multiplikation mit einem Skalar Seien \(\boldsymbol{u}\), \(\boldsymbol{v}\) Vektoren desselben Raumes, also hier entweder 2-dimensional oder dreidimensional und \(\lambda\) und \(\mu\) reelle Zahlen (Skalare), so gilt:

\[\begin{aligned} 1\cdot \boldsymbol{u}&=u \\\nonumber (\lambda \cdot \mu) \cdot \boldsymbol{u} &=\lambda \cdot (\mu \cdot \boldsymbol{u}) \\\nonumber (\lambda + \mu)\cdot \boldsymbol{u} &=\lambda \cdot \boldsymbol{u} + \mu \cdot \boldsymbol{u} \\\nonumber \lambda \cdot (\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}) &= \lambda\boldsymbol{u} + \lambda \boldsymbol{v} \\\nonumber \end{aligned}\]

Rechenregeln für die Koordinatendarstellung

Seien \(\boldsymbol{u}=(u_1,u_2)\) und \(\boldsymbol{v}=(v_1,v_2)\) zwei Vektoren und \(\lambda\) und \(\mu\) reelle Zahlen, so gilt:

\[\begin{aligned} \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}&=(u_1+v_1,u_2+v_2)\\\nonumber \lambda \cdot \boldsymbol{u} &= (\lambda \cdot u_1, \lambda \cdot u_2) \end{aligned}\]

Norm eines Vektors
Die Länge (Norm) eines Vektors wird mit \(|\boldsymbol{u}|\) oder\(\| \boldsymbol{u} \|\) bezeichnet und ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras. Für den Vektor \(\boldsymbol{u}=(u_1,u_2)\) gilt:

\[\| \boldsymbol{u} \| =\sqrt{u_1^2+u_2^2}\]

und für \(\boldsymbol{u}=(u_1,u_2,u_3)\)

\[\| \boldsymbol{u} \| =\sqrt{u_1^2+u_2^2 + u_3^2}\]

E.1.3 Zeilen- und Spaltenvektoren

Vektoren kommen als Zeilen oder Spaltenvektoren vor:

\[\begin{aligned} \nonumber \text{Zeilenvektoren:} &&\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \text{oder} \begin{pmatrix} -5 & 3 \end{pmatrix}\\\nonumber \text{Spaltenvektoren:} &&\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \text{oder} \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \end{pmatrix}\\\nonumber \end{aligned}\]

Die Rechenregeln für die Koordinatendarstellung der Zeilenvektoren gilt analog für die Spaltenvektoren. Die Addition von Zeilen mit Spaltenvektoren und umgekehrt ist streng mathematisch gesehen nicht erlaubt.

E.1.4 Multiplikation von Zeilen- mit Spaltenvektor

Die Multiplikation von einem Zeilenvektor mit einem Spaltenvektor derselben Länge ergibt eine Zahl

\[\begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = u_1\cdot v_1+ u_2\cdot v_2+ u_3\cdot v_3\]

E.1.5 Inneres Produkt oder auch Skalarprodukt

Das innere Produkt oder Skalarprodukt zweier Vektoren \(\boldsymbol{u}\) und \(\boldsymbol{v}\) , die den Winkel \(\theta\) einschließen, ist definiert als

\[ <\boldsymbol{u} , \boldsymbol{v}> = \|u\| \|v\| \cos \theta \]

Ist einer der beiden Vektoren der Nullvektor, so ist \(<\boldsymbol{u} , \boldsymbol{v} >=0\), auch wenn man keinen Winkel zwischen den Vektoren angeben kann. Wenn das innere Produkt Null ist und es sich nicht um Nullvektoren handelt, so stehen die Vektoren senkrecht aufeinander (\(\cos 90 °=0\)). Zwischen Norm und innerem Produkt besteht folgender Zusammenhang:

\[\| \boldsymbol{u} \| =\sqrt{<\boldsymbol{u} , \boldsymbol{u}>}\]

Rechenregeln für die Koordinatendarstellung

Das innere Produkt oder Skalarprodukt zweier Vektoren \(\boldsymbol{u}=(u_1\;u_2)\) und \(\boldsymbol{v}=(v_1\;v_2)\) , berechnet sich wie folgt

\[ <\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}> =u_1v_1+u_2v_2 \]

E.2 Matrizen

Unter einer Matrix (Plural: Matrizen) versteht man ein rechteckiges Zahlenschema.

Bei der Matrix

\[ \nonumber \begin{pmatrix} 1 & 2 &3 \\ 0 & -5 &1 \end{pmatrix} \]

handelt es sich um eine \(2\times 3\)-Matrix, da sie zwei Zeilen und drei Spalten hat. Allgemein wird eine \(n\times m\)-Matrix wie folgt geschrieben

\[ \nonumber \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1m } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nm} \end{pmatrix} \]

wobei \(i\) der Zeilenindex und \(j\) der Spaltenindex ist.

E.2.1 Rechenregeln für Matrizen

Es sei \(A\) und \(B\) \(n\times m\)-Matrizen und \(\lambda\) eine Zahl, dann gilt

\[\begin{aligned} \nonumber A+B &=\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1m } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nm} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1m } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nm} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & \cdots & a_{1m } +b_{1m } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}+b_{n1} & \cdots & a_{nm} +b_{nm} \end{pmatrix}\\\nonumber \lambda \cdot A &= \lambda \cdot \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1m } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nm} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \lambda \cdot a_{11} & \cdots & \lambda \cdot a_{1m } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda \cdot a_{n1} & \cdots & \lambda \cdot a_{nm} \end{pmatrix}\nonumber \end{aligned}\]

Die Multiplikation zweier Matrizen ist etwas komplizierter, da man genau auf die Dimension achten muss. Eine Matrix \(A\) kann nur dann mit einer Matrix \(B\) multipliziert werden, wenn die Zahl der Spalten von \(A\) mit der Zahl der Zeilen von \(B\) übereinstimmt.

Sei also \(A\) eine \(n \times m\)-Matrix und \(B\) eine \(m \times r\)-Matrix, dann gilt

\[ \nonumber A \cdot B = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1m } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nm} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1r } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & \cdots & b_{mr} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \sum\limits_{i=1}^m a_{1i} \cdot b_{i1} & \cdots & \sum \limits_{i=1}^m a_{1i} \cdot b_{ir} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum\limits_{i=1}^m a_{ni} \cdot b_{i1} & \cdots & \sum \limits_{i=1}^m a_{ni} \cdot b_{mr} \\ \end{pmatrix} \]

Das Ergebnis ist eine \(n \times r\)-Matrix.

Für den Fall \(r =1\) kann man die Matrix B als Spaltenvektor auffassen(\(m \times 1\)-Matrix). Damit ergibt sich die Multiplikation einer \(n\times m\) Matrix mit einem m-dimensionalen Spaltenvektor zu

\[ \nonumber A \cdot b = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1m } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nm} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} b_{1} \\ \vdots \\ b_{m } \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \sum\limits_{i=1}^m a_{1i} \cdot b_{i} \\ \vdots \\ \sum\limits_{i=1}^m a_{ni} \cdot b_{i} \\ \end{pmatrix} \]

Das Ergebnis ist ein n-dimensionaler Spaltenvektor.

Analog gilt für die Multiplikation eines n-dimensionalen Zeilenvektors \(a\) mit einer \(n \times m\)-Matrix \(B\)

\[ \nonumber a \cdot B = \begin{pmatrix} a_{1} & \cdots & a_{n }\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1m } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nm} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \sum\limits_{i=1}^n a_{i} \cdot b_{i1} , & \cdots & , \sum\limits_{i=1}^n a_{i} \cdot b_{im} \\ \end{pmatrix} \]

Das Ergebnis ist ein m-dimensionaler Zeilenvektor. Die Multiplikation eines n-dimensionalen Zeilenvektors \(a\) mit einem n-dimensionalen Spaltenvektor \(b\) ergibt

\[ \nonumber a \cdot b = \begin{pmatrix} a_{1} & \cdots & a_{n }\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} b_{1} \\ \vdots \\ b_{n } \end{pmatrix}= \sum\limits_{i=1}^n a_{i} \cdot b_{i} \]

Das Ergebnis ist eine Zahl.

Man erkennt, dass es jeweils auf die richtigen Dimensionen ankommt. Man kann eine \(n \times m\)-Matrix nicht mit einem n-dimensionalen Vektor multiplizieren usw.

E.2.2 Quadratische Matrizen

Ist die Zahl der Zeilen und Spalten gleich, handelt es sich um eine quadratische Matrix. \[\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}\] Die Elemente, bei denen dann \(i=j\) ist, heißen Hauptdiagonalelemente bzw. alle zusammen heißen Hauptdiagonale. Quadratische Matrizen derselben Dimension können beliebig miteinander multipliziert werden.

Einheitsmatrizen

Matrizen, die auf der Hauptdiagonalen nur Einsen haben und sonst nur Nullen heißen Einheitsmatrizen oder Identitäten:

\[ \nonumber \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\0 & 1 &0 \\ 0 & 0 &1 \end{pmatrix}\qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 &0&0 \\ 0 & 1 &0 &0\\ 0 & 0 &1&0\\ 0 & 0 &0&1 \end{pmatrix}\cdots \]

Einheitsmatrizen werden häufig mit I bezeichnet. Die Dimension muss sich dann aus dem Kontext ergeben.

Inverse

Sei A eine quadratische Matrix. Gibt es eine Matrix B mit\(AB=BA=I\), so heißt A invertierbar und B heißt Inverse von A, in Zeichen

\[ \nonumber B=A^{-1} \]

Transponierte

Sei A eine quadratische Matrix. Die Matrix, bei der die Elemente an der Hauptdiagonalen gespiegelt sind, heißt Transponierte von A, in Zeichen \(A^{T}\).

\[ \nonumber \text{Sei } A = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}\quad \text{dann ist} \quad A^T = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{n1 } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \]

Spur und Determinante

Sei \(A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) eine \(2\times 2\)-Matrix. Die Summe der Elemente auf der Hauptdiagonalen heißt Spur von A, in Zeichen sp oder tr

\[ \nonumber \text{sp }A = a+d \]

Die Determinante der Matrix ist

\[ \nonumber \det A = ad -bc \]

Für höhere Dimensionen sei auf die Literatur zur linearen Algebra verwiesen.

E.2.3 Gleichungssysteme

Matrizen kommen in vielen Zusammenhängen vor, z.B. beim Lösen linearer Gleichungssysteme. So kann man das Gleichungssystem einfacher mit Hilfe von Matrizen und Vektoren schreiben: Das Gleichungssystem

\[ \nonumber \begin{matrix} a_{11} \cdot x_1 &+ \cdots +&a_{1m } \cdot x_m &= b_1\\ \vdots& & \vdots& \vdots \\ a_{n1} \cdot x_1 &+ \cdots +&a_{nm} \cdot x_m &= b_n \end{matrix} \]

kann mit

\[ \nonumber A=\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1m } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nm} \end{pmatrix}\quad \overrightarrow b= \begin{pmatrix} b_{1} \\ \vdots \\ b_{n } \end{pmatrix}\quad \text{ und } \quad \overrightarrow x=\begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{m } \end{pmatrix} \]

einfach als

\[ \nonumber A \cdot \overrightarrow x = \overrightarrow b \]

geschrieben werden.