Anhang F: Zweidimensionale lineare Abbildungen

Eine \(2 \times 2\)-Matrix \(A\) kann man auch als Abbildung auffassen. Wird ein 2-dimensionaler Vektor mit der Matrix multipliziert, so ist das Ergebnis wieder ein 2-dimensionaler Vektor. Man sagt: Die quadratische Matrix A bildet den \(\mathbb{R}^2\) in sich selbst ab.

Betrachten wir die Abbildung

\[{u \choose v} = \left ( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right ) \cdot {x \choose y} = A \cdot {x \choose y}\]

Hierbei ist der Vektor \(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) das Argument, \(A\) die Abbildung und \(\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\) der Funktionswert.

Eine solche Abbildung \(A\) setzt sich aus Drehungen, Scherungen, Streckungen, Projektionen und Spiegelungen zusammen:

Drehung	\(\displaystyle{u \choose v} = \left (\begin{array}{cc} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array} \right ) \cdot {x \choose y}\)
Scherung	\(\displaystyle{u \choose v} = \left (\begin{array}{cc} 1 & b \\ 0& 1 \end{array} \right ) \cdot {x \choose y}\)
Streckung	\(\displaystyle{u \choose v} = \left (\begin{array}{cc} a & 0 \\ 0& d \end{array} \right ) \cdot {x \choose y}\)
Projektion	\(\displaystyle{u \choose v} = \left (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0& 0 \end{array} \right ) \cdot {x \choose y}\)
Spiegelung	\(\displaystyle{u \choose v} = \left (\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0& 1 \end{array} \right ) \cdot {x \choose y}\)

Der Absolutbetrag der Determinante \(\vert \det A\vert =\vert ad \; - \; bc\vert\) der Matrix \(A\) gibt an, um welchen Faktor die Fläche des Einheitsquadrats bei Abbildung vergrößert bzw. verkleinert wird. Enthält die Abbildung eine Spiegelung, wechselt das Vorzeichen. Enthält die Matrix eine Projektion, verschwindet die Determinante.
Betrachtet man die Bilder verschiedener Vektoren unter einer Matrix, so stellt man fest, dass sie i.a. um verschiedene Winkel gedreht und um verschiedene Faktoren gestreckt werden. Die Frage ist, inwieweit es Vektoren gibt, die nur gestreckt, aber nicht gedreht werden. Wird ein Vektor nicht gedreht, so wird jeder Vektor, der in dieselbe Richtung (oder in die entgegengesetzte Richtung) zeigt, ebenfalls nicht gedreht. Diese Vektoren laufen entlang der sogenannten Eigenrichtung der Matrix. Jeder Vektor, der dies erfüllt (außer der Nullvektor) heißt Eigenvektor.

Für jeden Vektor \(\overrightarrow{v}\) in Eigenrichtung kann die Matrix \(A\) also durch einen Faktor \(\lambda\) ersetzt werden, der den jeweiligen Streckungsfaktor angibt. Dieser Faktor heißt Eigenwert zu dieser Eigenrichtung.

Für einen Eigenvektor \(\overrightarrow{v}\) zum Eigenwert \(\lambda\) gilt

\[A\cdot \overrightarrow{v} = \lambda \cdot \overrightarrow{v}\]

oder anders mit der Einheitsmatrix I geschrieben:

\[(A-\lambda I)\cdot \overrightarrow{v} =\overrightarrow{0}\]

Diese Gleichung ist auch der Schlüssel, um die Eigenwerte zu finden, sie heißt Eigenwertgleichung.

Aus der Algebra ist bekannt: Ein lineares, homogenes Gleichungssystem mit einer quadratischen Matrix \(B\) hat genau dann eine nicht-triviale Lösung (eine Lösung ungleich Null), wenn det B=0 gilt, also hat die Eigenwertgleichung nur dann nicht-triviale Lösungen, wenn

\[p( \lambda) := det(A-\lambda I)=0\]

gilt. \(p(\lambda)\) heißt auch charakteristisches Polynom der Matrix \(A\). Man findet die Eigenwerte, indem man die Nullstellen des charakteristischen Polynoms bestimmt. Im zweidimensionalen Fall gibt es höchstens zwei verschiedene Eigenwerte und man kann sie einfach bestimmen:

\[p(\lambda)= \det \left ( \begin{array}{cc} a -\lambda& b \\ c & d-\lambda \end{array} \right )= (a-\lambda)(d-\lambda)-bc =\lambda^2 -(a+d)\lambda+ ad-bc =0\]

Mit \(\det\, A=ad-bc\) und \(\mbox{spur }A = a+d\) erhält man die Lösungen

\[\lambda_{1,2}= \dfrac{\mbox{spur }A}{2} \pm \sqrt{\dfrac{(\mbox{spur }A)^2}{4} -\det A}\]

Die Eigenvektoren erhält man, indem man für ein fest vorgegebenen Eigenwert die Eigenwertgleichung löst:

\[{a- \lambda \; \; \;b \choose c \; \; \; d-\lambda}\cdot {v_1 \choose v_2} = 0\]

Beispiel

\[A= \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\]

Bestimmung der Eigenwerte:

\[A-\lambda \cdot I = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1-\lambda & 2 \\ 0 & 2-\lambda \end{pmatrix}\]

\[det(A-\lambda \cdot I ) = (-1-\lambda)\cdot (2-\lambda) - 2\cdot 0 =: 0\]

Damit gilt \(\lambda_1= -1\) und \(\lambda_2= 2\).

Bestimmung der Eigenvektoren zu \(\lambda_1= -1\):

\[(A-\lambda_1 \cdot I)\cdot x =:0\]

\[(A-\lambda_1 \cdot I) = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1-(-1) & 2 \\ 0 & 2-(-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\]

\[\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

Damit gilt \(x_2 = 0\) und \(x_1\) beliebig. Die Eigenvektoren zu \(\lambda_1= -1\) haben die Form \(c \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, c \in \mathbb{R}\backslash {0}\).

Bestimmung der Eigenvektoren zu \(\lambda_2= 2\):

\[(A-\lambda_2 \cdot I)\cdot x =:0\]

\[(A-\lambda_2 \cdot I) = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1-2 & 2 \\ 0 & 2-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\]

\[\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

Die Gleichung, die sich aus der zweiten Zeile ergibt, wird durch beliebige \(x_1\) und \(x_2\) erfüllt. Wir wählen daher \(x_1=c\) , \(c \in \mathbb{R}\backslash{0}\) Aus der ersten Zeile ergibt sich dann \(x_2 = \frac{3}{2} c\) Damit gilt \(x_2 = 0\) und \(x_1\) beliebig. Die Eigenvektoren zu \(\lambda_2= 2\) haben die Form \(c\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix}, c \in \mathbb{R}\backslash {0}\).

Bemerkung

Da die Eigenvektoren bis auf einen Faktor bestimmt werden können, kann man eine Komponente festlegen, und die andere bestimmen. Für \(b\ne 0\) kann man \(v_1=b\) setzen und erhält den Eigenvektor \({b \choose \lambda-a}\). Für \(c\ne 0\) kann man \(v_2=c\) setzen und erhält den Eigenvektor \({\lambda-d \choose c}\). Für \(b=c=0\) ist \(A\) eine Streckmatrix mit den Eigenwerten \(a\) und \(d\). Die zugehörigen Eigenvektoren sind die Einheitsvektoren in x- bzw. y-Richtung. Gilt \(a=d\), so ist \(A\) Vielfaches der Einheitsmatrix und jeder Vektor (außer dem Nullvektor) ist Eigenvektor.