Grundlagen mathematischer Modellierung
Vorwort
Dieses Skript ist zur Vorlesung “Grundlagen mathematischer Modellierung” für Masterstudierende des 1. Fachsemester des Studiengangs “Marine Umweltwissenschaften” am Institut für Chemie und Biologie des Meeres (ICBM) der Carl von Ossietzky Universität Oldenburg entstanden. Es richtet sich an Studierende, die in ihrem bisherigen Bachelorstudium keine oder eine sehr geringe Mathematikausbildung erhalten haben. Daher werden viele Aspekte der Schulmathematik noch einmal aufgegriffen und in den Kontext der mathematischen Modellierung gestellt.
Dank geht an Wolfgang Ebenhöh, meinen Mentor und Doktorvater, für die Überlassung vieler Textinhalte und Modellbeispiele und an Christoph Feenders für das Korrekturlesen.
Oldenburg, März 2025
Mathematische Modellierung im Studium
Es stellt sich die Frage, warum die “Mathematische Modellierung” ein Teil des Studiums für angehende Umweltwissenschaftler sein sollte.
Einfache Modelle ermöglichen das Verständnis wichtiger Zusammenhänge. Durch das Aufstellen mathematischer Modelle wird die Fähigkeit zur Abstraktion, “Wichtiges” von “Unwichtigem” zu unterscheiden, geschult und der Blick für das “Wesentliche” geschärft. Die Modellierung und Implementierung der Modelle ist eine Fähigkeit, die in nahezu allen Forschungsgebieten bei der Analyse und Planung komplexer Experimente, der Datenhaltung und Datenanalyse sowie der Präsentation eigener Ergebnisse benötigt wird.
Modelle sind zumeist “problemorientiert” und damit fast von selbst interdisziplinär, da die Probleme interdisziplinär sind. Im Studium der Umweltwissenschaften sind mathematische Modelle deshalb ein wichtiges Mittel, um die einzelnen Fachdisziplinen zu verbinden.
Immer mehr politische und ökonomische Entscheidungen, wie z.B. die Entscheidungen über Maßnahmen währen der Covid-19 Pandemie im Jahre 2020, werden auf der Basis von Modellrechnungen getroffen. Modelle werden heutzutage zu immer größeren Verbundmodellen gekoppelt (“Modell-Aggregation”, “nested modelling”). Die großen Modelle, ihre Aussagen und Grenzen kann man nur dann einordnen, wenn man zumindest mit kleinen Modellen selbst gearbeitet hat. Anträge zur Finanzierung von Forschungsprojekten werden häufig kaum noch bewilligt, wenn sie keine Modellierungsansätze beinhalten. Es ist heutzutage nicht mehr möglich diese Technik auszuklammern. Um mit Modellierern kommunizieren und kooperieren zu können, sollte man einige Grundlagen der mathematischen Modellierung kennen.
Anmerkungen
Die Notation von Dezimalzahlen folgt der internationalen Schreibweise mit einem Dezimalpunkt. Zur besseren Lesbarkeit wurde im Text die männliche Form gewählt. In Abschnitt 1 werden grundlegende Inhalte mit einfachen Beispielen vermittelt, Abschnitt 2 enthält weitere, etwas umfangreichere Modellbeispiele. Im Anhang werden für das Skript benötigte Grundlagen aus der Schul- und Uni-Mathematik kurz dargestellt. Sie ersetzen keine Mathematikvorlesungen und erheben keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Aus Gründen der Übersichtlichkeit wird häufig auf die Überprüfung und Angabe von Voraussetzungen verzichtet. Allen Studierenden, die bisher keine ausreichenden Mathematikkenntnisse erworben haben, wird daher dringend empfohlen, diese Inhalte zu vertiefen. Hierzu hilfreich sind einführende Lehrbücher für Nebenfächler (Mathe für Biologen, Mathe für Ingenieure), der Online Brückenkurs OMB+ oder auch Schulbücher.
Im Anhang werden zudem weiterführende Techniken zur mehrdimensionalen Analysis und zur Stabilitätsanalyse zweidimensionaler Modellsysteme kompakt dargestellt. Dies soll Studierenden, denen die Themen in anderen Veranstaltungen begegnet sind, erleichtern, sich in der hier verwendeten Notationen zurecht zu finden. Es ersetzt keinesfalls weiterführenden Veranstaltungen zu den jeweiligen Themen.
Abschnitte, die mit einem Stern (*) gekennzeichnet sind, dienen der Vertiefung und können auch übersprungen werden. An einigen wenigen Stellen sind kurze Code-Beispiele in Matlab angegeben, die sehr leicht auch in andere Programmiersprachen übersetzt werden können.