11 Temperaturverteilung im Sediment
Ein Beispiel für die Anwendung des Diffusionsmodells hat sich in der Forschergruppe BioGeoChemie des Watts ergeben. In der AG Mikrobiogeochemie wurden Temperaturdaten im Rückseitenwatt von Spiekeroog gemessen (Abbildung 11.1).
Die Frage, die sich stellt ist, welche Ursache die Phasenverschiebung in den Temperaturkurven in unterschiedlichen Tiefen hat. Die Hypothese dazu ist, dass die Phasenverschiebung allein durch die Wärmeleitung erklärt werden kann. Da die Wärmeleitung in einem Medium durch die Diffusionsgleichung beschrieben werden kann, wurde das Modell aus Abschnitt 10.2 verwendet. Als Randbedingung wurden Wassertemperaturdaten vom Messpfahl verwendet. Da diese Daten nur von April bis Dezember zur Verfügung stehen, wird zuerst eine Kosinusfunktion an die Daten gefittet (vgl Abschnitt 2.2) um einen vollständigen Jahresgang zu erhalten.
Es wird das eindimensionale Diffusionsschema nach Gleichung 10.5 verwendet, wobei die erste Zelle die Sedimentoberfläche und die letzte Zelle die Sedimentuntergrenze bei 10m beschreibt. Insgesamt werden 100 Zellen verwendet.
Als Anfangsbedingung wird für die Zellen 2-99 die mittlere Temperatur gewählt.
Die approximierte Kosinusfunktion wird zur Bestimmung der Temperatur an der Sedimentoberfläche verwendet (Dirichlet-Problem). Dies wird technisch dadurch gelöst, indem der Wert der ersten Zelle in jedem Zeitschritt auf den Funktionswert der Kosinusfunktion gesetzt wird.
Die untere Randbedingung wird in der Tiefe von 10 m gesetzt (Zelle 100). Es wird angenommen, dass in dieser Tiefe kein Wärmefluss mehr auftritt, der Gradient also Null ist (Neumann-Problem). Dies wird technisch erreicht, indem der Wert der letzten Zelle (100) in jedem Zeitschritt auf den Wert der vorletzten Zelle (99) gesetzt wird.
Die Temperatur wird nun für 3 Jahre mit einem Zeitschritt von \(\Delta t=0.01\) Jahr berechnet. Das Simulationsergebnis für D=\(9.5\cdot 10^{-7}\,\frac{m^2}{s}\) ist in Abbildung 11.2 dargestellt.
Man erkennt, dass das System nach kurzer Zeit die recht willkürlich gesetzten Anfangswerte vergessen hat. Vergleicht man nun die Simulationsergebnisse des dritten Jahres in den jeweiligen Tiefen mit den gemessenen Daten erkennt man eine recht gute Übereinstimmung in der Phasenlage (Abbildung 11.1 und Abbildung 11.2 (rechts)).
Man kann also die zeitliche Phasenverschiebung mit der Wärmeleitung erklären. Es bleibt zu überprüfen, inwieweit der angenommene Diffusionskoeffizient für den am Janssand vorliegenden Sedimenttyp realistisch ist und als Konstante betrachtet werden darf. Um eine noch bessere Übereinstimmung zu erhalten, würde man anstelle der Kosinuskurve die realen Daten als Randbedingung einsetzen. Die fehlenden Daten könnte man mittels einer Fourieranalyse approximieren (vgl. Abschnitt 2.4.1).