20  Masern-Modell

Masern sind hochansteckende fieberhafte, exanthemische Viruserkrankungen, die nur beim Menschen vorkommen. Schwere Krankheitsverläufe mit Komplikationen in Form von Pneumonien, Mittelohrentzündungen, Bronchitiden sowie der lebensbedrohenden akuten postinfektiösen Enzephalitis (0,1 % aller Erkrankungsfälle) sind möglich. Darüber hinaus kommt es bei etwa 4-11 pro 100.000 Erkrankungen zum Auftreten der sog. subakuten sklerosierenden Panenzephalitis (SSPE), die nach 7-10 Jahren nach der Erkrankung auftritt und in der Regel zum Tod führt ((RKI abgerufen 19.1.2026)). Masernerkrankungen können durch eine Impfung effektiv verhindert werden. Die Eliminierung der Masern bis zum Jahr 2010 war ein erklärtes Gesundheitsziel der WHO. Um dies zu erreichen, sollten 95 % der Bevölkerung durch Impfung bereits im Kindesalter geschützt sein (s. a. RKI, Epid. Bull. 10/2004). Dieses Ziel wurde bisher nicht erreicht. Im September 2010 haben sich die Mitgliedstaaten in der Europäischen Region der WHO durch eine Resolution des Regionalkomitees für die Eliminierung der Masern und Röteln das neue Zieldatum 2015 gesetzt. Masern sind weltweit verbreitet. Aufgrund der hohen Infektiosität treten Masern meist als Kinderkrankheit auf und hinterlassen eine lebenslange Immunität. Masern werden durch Tröpfcheninfektion übertragen, also z.B. durch Husten, Niesen oder Sprechen. Die Inkubationszeit beträgt zwischen ca. 9 und 14 Tagen. Weltweit sind die Masern mit jährlich 31 Millionen Erkrankungen und 614.000 Todesfällen (2002) weiterhin eine Hauptursache für Todesfälle im Kindesalter, die durch Impfung vermeidbar wären (Quelle: RKI).

Epidemiologisch gesehen ist die Bevölkerungsdichte ein wesentlicher Parameter für den Verlauf der Epidemie (siehe Spektrum der Wissenschaft, 1984. Insuläre Epidemien). Die Ansteckungsrate variiert im Laufe des Jahres, sie ist z.B. während der Schulferien geringer. Um die Auswirkung der Bevölkerungsdichte zu berücksichtigen, muss im klassischen Epidemiemodell die Ansteckungsrate \(B\) modifiziert werden. Des weiteren wird eine Zu- und Abwanderung von Teilen der Bevölkerung berücksichtigt.

20.1 Das Modell

Es wird angenommen, dass die Bevölkerungsgröße \(N\) konstant ist. Es findet eine Migration statt, wobei pro Tag \(\mu \cdot N\) gesunde Personen pro Quadratkilometer einwandern und dieselbe Personenzahl das Gebiet verlässt. Die auswandernden Personen setzen sich anteilig aus Gesunden, infizierten und immunen zusammen. Es wird im Modell nicht zwischen infizierten und erkrankten Personen unterschieden. Erkrankte Personen werden mit einer Gesundungsrate \(\gamma\) immun.

\[\begin{aligned} \dot{S}&=& \mu\cdot N - B \cdot S - \mu\cdot S\\ \dot{I}&=& B \cdot S - \gamma \cdot I - \mu\cdot I\\ \dot{R}&=& \gamma \cdot I - \mu\cdot R \end{aligned}\]

Zustandsvariablen:

• S: Dichte der Suszeptiblen in Einwohner/\(km^2\)

• I: Dichte der Infizierten in Einwohner/\(km^2\)

• R: Dichte der Immunen in Einwohner/\(km^2\)

Parameter:

• \(\mathbf{N}\): Bevölkerungsdichte in Einwohner/\(km^2\)

• \(\mathbf{\mu}\): Zuwanderungsrate in in 1/Tag

• \(\mathbf{B}\): Infektionsrate in 1/Tag

• \(\mathbf{\gamma}\): Gesundungssrate von infiziert nach immun in 1/Tag

Geht man wie im klassischen Epidemiemodell von einer konstanten Populationsgröße \(N\) aus, so beträgt die Infektionsrate \(B\):

\[B=p\cdot k\cdot \frac{I}{N}\]

Hierbei ist \(p\) das Ansteckungsrisiko bei einem fatalen Kontakt und \(k\) die Anzahl der Kontakte einer anfälligen Person in einem Zeitintervall. Bei hoher Bevölkerungsdichte (z.B. in Großstädten) ist die Zahl der Kontakte pro Zeiteinheit größer als bei niedriger Bevölkerungsdichte (z.B. auf dem Land). Da Masern über Tröpfcheninfektion übertragen werden, kann man sich vor einer Infektion nicht wirklich schützen, so dass die Infektionsrate bei hoher Dichte zunehmen wird. Die Kontaktzahl \(k\) soll also abhängig von der Bevölkerungsdichte \(N\) sein. Ist \(k_0\) die Anzahl der Kontakte bei einer Bevölkerungsdichte \(N_0\), so ist folgende Annahme sinnvoll:

\[k(N)=\frac{k_0 \cdot N }{N_0}\]

Dann erhält man die Infektionsrate \(B\):

\[B= p \cdot \frac{k_0 \cdot N }{N_0} \cdot \frac{I}{N} = p \cdot\frac{k_0 }{N_0}\cdot I\]

Die Infektionsrate ist also letztlich nicht mehr abhängig von der Bevölkerungsdichte. Diese geht im Modell aber dadurch ein, dass bei hoher Dichte pro Zeiteinheit mehr Suszeptible einwandern.

Die Anzahl der Kontakte hängt auch von der Jahreszeit ab. Während der Sommermonate, wenn Schulferien sind, ist die Zahl der Kontakte geringer. Hierzu modifiziert man \(k_0\) so, dass es im Sommer niedriger als im Winter ist. Dies kann z.B. vereinfacht durch eine Kosinuskurve geschehen:

\[k_0(t)=k_0\cdot e_k(t)\]

mit

\[e_k(t) = \frac{1+c}{2} + \frac{1-c}{2}\cdot \cos\left (\frac{2\pi\,t}{365} \right)\]

Der Parameter \(c \in \left[0,1\right]\) gibt an, auf wie viel Prozent des ursprünglichen Wert \(k_0\) im Sommer absinkt.

20.2 Simulationsergebnis

Die Simulationsverläufe in Abbildung 20.1 wurden mit folgender Parametrisierung berechnet:

\(N=200,500,900\)	Bevölkerungsdichte in Einwohner/\(km^2\)
\(\mu=0.001\)	Migrationsrate in 1/Tag
\(p=0.05\)	Ansteckungsrate in 1/Tag
\(\gamma=0.1\)	Gesundungsrate in 1/Tag
\(k_0=5\)	Kontaktzahl bei der Bevölkerungsdichte \(N_0\)
\(N_0=200\)	Referenzbevölkerungsdichte in Einwohner/\(km^2\)
\(I(0)=1.0\)	anfängliche Infiziertendichte in Einwohner/\(km^2\)
\(R(0)=0.8\cdot N\)	anfängliche Immunendichte in Einwohner/\(km^2\)
\(S(0)=N-R(0)-I(0)\)	anfängliche Suszeptiblendichte in Einwohner/\(km^2\)

 

 

Abbildung 20.1: Simulationsergebnisse für die Masernepidemie mit konstanter Kontaktzahl (links) und sinusförmiger Kontaktzahl mit einem Minimum im Sommer (c=0.7, rechts).

Das Model beschreibt ausschließlich die Abhängigkeit der Infiziertenzahlen von der Kontaktzahl. In einem realistischeren Modell muss zusätzlich der Impfstatus der Bevölkerung berücksichtigt werden.

RKI. abgerufen 19.1.2026. „RKI Ratgeber Masern“, abgerufen 19.1.2026. https://www.rki.de/DE/Aktuelles/Publikationen/RKI-Ratgeber/Ratgeber/Ratgeber_Masern.html.