22  HIV-Modell

Bei der Krankeit AIDS (aquired immunodeficiency syndrome) handelt es sich um eine Virusinfektion mit dem Lentivirus HIV. Die Zielzellen des HIV-Virus sind die T-Helferzellen des Immunsystems, die die Abläufe der Immunantwort steuern. Bricht AIDS aus, so ist die gesamte Immunantwort auf jedwede Erreger gestört, der Patient erkrankt auch an sonst harmlosen Erregern (sogenannte opportunistische Infektionen). Letztlich führt der Zusammenbruch des Immunsystems und die damit verbundenen Erkrankungen inklusive Krebs zum Tod. AIDS ist bisher nicht heilbar. Es gibt bisher auch keinen Impfstoff, da der Erreger sehr wandlungsfähig ist. Behandlungsmöglichkeiten bestehen mit Kombinationstherapien, die die Ausbreitung von HIV im Körper verlangsamen. Die Krankheit wird ausschließlich durch den Austausch von Körperflüssigkeiten übertragen. Die häufigsten Übertragungswege sind ungeschützter Geschlechtsverkehr und die Nutzung kontaminierter Spritzen bei Drogenabhängigen. AIDS ist durch eine sehr lange und variable Inkubationszeit gekennzeichnet.

Die epidemiologisch wichtigen Kennzeichen der HIV-Infektion sind

Aufgrund der langen Inkubationszeit ist eine Übertragung des klassischen Epidemiemodells nur eingeschränkt möglich, das dort zwischen Infizierten und erkrankten nicht unterschieden wird. Des weiteren geht das klassische Modell davon aus, dass die Kontakte in der Bevölkerung, die zur Infektion führen, homogen verteilt sind. Dies ist bei einer Infektion durch Blutkontakt sicher nicht der Fall. Insbesondere kann sich jede Person aktiv vor einer Infektion schützen.

Beim klassischen Epidemiemodell

\[\begin{aligned} \dot{S}&=& - B \cdot S \\ \dot{I}&=& B \cdot S - \gamma \cdot I \\ \dot{R}&=& \gamma \cdot I \end{aligned}\]

ist die Ansteckungsrate \(B\) durch

\[B=p\cdot k\cdot\frac{I}{N}\] gegeben, wobei \(p\) das Infektionsrisiko, \(k\) die Anzahl der Kontakte pro Zeiteinheit und \(\frac{I}{N}\) der Anteil der Infizierten an der Gesamtbevölkerung darstellt.

Bei AIDS muss nun \(R\) als die Anzahl der erkrankten Personen interpretiert werden, da es zu keiner Gesundung oder Immunität kommt. Man kann vereinfachend davon ausgehen, dass Erkrankte keinerlei Kontakte pflegen, die zur Infektion führen können. Damit gilt bei AIDS \[ B=p\cdot k\cdot \frac{I}{I+S} \tag{22.1}\]

Die Lösungskurven für dieses modifizierte Modell sind in _reffig-kermack gegeben. Man sieht, dass letztlich die Bevölkerung ausstirbt, was nach heutigem Kenntnisstand unrealistisch ist.

Abbildung 22.1: Die Modifikation des klassischen Modells nach Gleichung 22.1 führt zum Aussterben der Population.

Die Ursache hierfür liegt darin, dass seitens der Bevölkerung keine Reaktion auf die bisherigen Fallzahlen stattfindet und dass keine Sättigungseffekte auftreten, da die Bevölkerung bezogen auf ihr Kontaktverhalten als homogen angenommen wird. Da man sich vor einer Infektion aktiv schützen kann, wird bei zunehmender Krankenzahl die Bevölkerung reagieren. Dies kann auf verschiedene weisen passieren. Es kann einerseits die Zahl der Kontakte reduziert werden oder auch das Ansteckungsrisiko bei einem Kontakt verringert werden. Zu letzterem zählt die Verwendung von Kondomen und Verwendung steriler Spritzen durch IV-Drogenabhängige.

Um diesen Aspekten Rechnung zu tragen wird der Ansatz der homogen agierenden Bevölkerung aufgegeben und die Reaktion der Bevölkerung auf die Fallzahlen berücksichtigt.

22.1 Die Bevölkerungsstruktur

Im Modell werden die Personen einer fiktiven Bevölkerung betrachtet, die zwischen ca. 15-65 Jahre alt sind. Diese Personen werden in n Gruppen eingeteilt, die durch die mittlere Anzahl potentiell gefährlicher Kontakte pro Jahr gekennzeichnet ist. Hierbei wird angenommen, dass die Personen der i-ten Gruppe (\(i=1\ldots n\)) im Mittel \(2^{i-1}-\) Kontakte pro Jahr haben. Somit hat die erste Gruppe keine potentiell gefährlichen Kontakte.

Des weiteren wird eine feste "`Geburtenrate"` und “Sterberate” angenommen. Es wird angenommen, dass es sich bei den “Geburten” um nichtinfizierte Personen handelt. Die Bevölkerungsgröße bleibt so über die Zeit konstant (wenn man die Todesfälle durch AIDS weiterhin als Krankheitsfälle zählt).

Es wird angenommen, dass pro Zeiteinheit ein Teil der Bevölkerung das Verhalten ändert und in eine benachbarte Gruppe “wandert” Dies Wanderung is so angelegt, dass ohne HIV-infizierte die Gruppengrößen konstant bleiben (Fließgleichgewicht). Als Anfangsverteilung wird eine Binominalverteilung angenommen.

22.2 Die Neuinfektionen

Die Anzahl der Neuinfektionen hängt von der aktuellen Nichtinfiziertenzahl \(S\), Infiziertenzahl \(I\) (ohne Erkrankte), der Kontaktzahl \(k\) und dem Ansteckungsrisiko \(p\) ab.

Für die Ansteckungsrate \(B_i\) in der i-ten Gruppe gilt:

\[ B_i=p \cdot k_i\frac{\sum_{j=1}^n I_j}{\sum_{j=1}^n I_j+S_j} \tag{22.2}\]

Der Bruch gibt die Anzahl aller fatalen Kontakte bezogen auf die Anzahl sämtlicher Kontakte an. Die Zahl der Neuinfizierten \(I_{neu,i}\) in der i-ten Gruppe ergibt sich aus der Anzahl der Nichtinfizierten in der i-ten Gruppe und der Ansteckungsrate:

\[ I_{neu,i}=B_i \cdot S_i \tag{22.3}\]

22.3 Die Neuerkrankungen

Aufgrund der langen Inkubationszeit bei AIDS kann nicht von einer konstanten Konvertierungsrate von infiziert nach krank ausgegangen werden. Es kommt zu einem sogenannten transienten Effekt. Man kann davon ausgehen, dass die Inkubationszeit in etwa Gauß-verteilt ist. Zu Beginn der Epidemie erkranken daher zuerst die Personen mit unterdurchschnittlich langer Inkubationszeit. Erst im Laufe der Zeit normalisiert sich die mittlere Inkubationszeit hin zum Erwartungswert der Verteilung. Dadurch bedingt erkranken anfangs überdurchschnittlich viele Personen. Die folgende Abnahme der Erkrankungszahlen geht aber nicht auf ein Abklingen der Epidemie zurück, sondern ist eine logische Folge des transienten Effekts (Abbildung 22.2).

Abbildung 22.2: Qualitativer Verlauf der Infiziertenzahlen (schwarz). Aufgrund des transienten Effekts wird die Epidemie anfangs überschätzt (gestrichelt). Die tatsächliche Verringerung der Neuerkrankungen wird fälschlicherweise als Abklingen der Epidemie interpretiert (gepunktet).

Um diesem Verlauf seit Beginn der Epidemie gerecht zu werden, wird die Dauer der Infektion berücksichtigt. Ist \(v\) die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Inkubationszeit, so erhält man die Zahl der Neuerkrankten der i-ten Gruppe \(R_{neu,i}\) durch (muss für das Modell noch diskretisiert werden):

\[R_{neu,i}(t) =\int_0^t I_{neu,i}(s) \cdot v(t-s)\; ds\]

22.4 Reaktion der Bevölkerung

Die Modellbevölkerung reagiert auf zwei verschiedene Weisen auf den Verlauf der Epidemie:

  1. Veränderung der Kontaktzahl

  2. Veränderung der Ansteckungswahrscheinlichkeit

Im ersten Fall wird angenommen, dass bei zunehmendem Bewusstsein für die Gefahr ein Teil der Bevölkerung die Anzahl ungeschützter Kontakte verringert. Es findet eine “Wanderung” in eine Gruppe mit geringerer Kontaktzahl statt. Im zweiten Fall wird angenommen, dass das Ansteckungsrisiko pro Kontakt verringert wird.

Die Reaktion erfolgt jeweils aufgrund der aktuellen Neuerkrankungszahlen und dem bisherigen Gesamtverlauf der Epidemie.

22.5 Simulationsergebnisse

Die Simulationsergebnisse Abbildung 22.3 zeigen, dass die Berücksichtigung der Reaktion auf die Fallzahlen zu wesentlich realistischeren Ergebnissen führt.

 

 
Abbildung 22.3: Modellergebnisse mit dem AIDS-Modell AiMo. Dargestellt sind jeweils die Zahl der Neuerkrankungen in den Jahren bis 1995 mit Berücksichtigung der Reaktion der Bevölkerung auf die Fallzahlen der vergangenen Jahre (rechts, solide) und ohne Reaktion der Bevölkerung (rechts, gestrichelt) für eine Bevölkerungsgröße, die der von Berlin entspricht. Der Vergleich mit den Fallzahlen für Berlin (Quelle:RKI) bis zum Jahr 2004 (rechts) zeigt eine gute Übereinstimmung bis Ende der neunziger Jahre.

An den Simulationsergebnissen ab Ende der Neunzigerjahre erkennt man, dass es weitere Faktoren geben muss, die den Epidemieverlauf maßgeblich beeinflussen. Aufgrund der langen Inkubationszeit muss die Ursache für den veränderten Epidemieverlauf viele Jahre zurückliegen. Betrachtet man speziell die Fallzahlen von Berlin, so könnte der veränderte Epidemieverlauf mit dem Mauerfall zusammenhängen. Demoskopische Daten zeigen, dass die Fallzahlen im Osten zu dieser Zeit vermutlich deutlich unter denen des Westens lagen. Dies lässt vermuten, dass AIDS in den Ost-Medien weniger stark thematisiert wurde. Des weiteren könnte es sein, dass aufgrund der einschneidenden politischen Ereignisse das Bewusstsein für die Gefahr einer HIV-Infektion in den Hintergrund getreten ist. Nimmt man dies an und geht davon aus, dass Anfang der neunziger Jahre sich das Bewusstsein für die Epidemie erst wieder neu aufbauen musste, so erhält man deutlich bessere Ergebnisse (Abbildung 22.4).

Abbildung 22.4: Modellergebnisse mit dem AIDS-Modell AIMo. Modellergebnis für die Anzahl der Neuerkrankungen (schwarz) in Berlin unter der Annahme, dass zur Zeit des Mauerfalls das Bewusstsein für die Gefahr eine HIV-Infektion herabgesetzt ist, verglichen mit den Fallzahlen für Berlin (rot, Quelle:RKI).

Man darf natürlich nicht den Fehler machen, aufgrund der Übereinstimmung von Daten und Simulation zu schließen, dass ein verändertes Bevölkerungsbewusstsein tatsächlich die Ursache für den veränderten Epidemieverlauf ist. Das Ergebnis darf man allerhöchstens als Hinweis werten, dass die Untersuchung der demoskopischen Daten auf Hinweise, die für eine verändertes Verhalten sprechen, sinnvoll ist.