Anhang J: Vergleich der Stabilitätsanalyse diskreter und kontinuierlicher linearer Modelle *

Das DGL-System

\[ \dot x= A \cdot x \qquad A= \left ( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right ) \tag{J.1}\]

hat den Fixpunkt \(x^\ast=(0,0)\).

Hat die Matrix \(A\) zwei verschiedene Eigenwerte \(\lambda^A_1\) und \(\lambda^A_2\), so kann man eine allgemeine Lösung des linearen Systems angeben:

\[\vec{x(t)} = C_1^A \cdot e^{\lambda^A_1 \cdot t} \cdot \vec{v}_1^A + C_2^A \cdot e^{\lambda^A_2 \cdot t} \cdot \vec{v}_2^A\]

Hierbei ist \(\vec{v}^A_1\) Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda^A_1\) und \(\vec{v}^A_2\) Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda^A_2\), \(C^A_1\) und \(C^A_2\) sind freie Konstanten.

Damit ist der Fixpunkt \(x^\ast\) stabil, wenn \(\lambda^A_ {1,2}< 0\)

Für die Eigenwerte des Systems gilt

\[\lambda^A_{1,2}= \dfrac{a+d}{2} \pm \sqrt{\dfrac{(a+d)^2}{4} -(ad-bc)}\]

Das zum DGL System J.1 zugehörige diskrete System lautet

\[ x_n= x_{n-1} + A \cdot x_{n-1} = (I+A) \cdot x_{n-1} \tag{J.2}\]

und hat ebenfalls den Fixpunkt \(x^\ast=(0,0)\).

Hat die Matrix \(I+A\) zwei verschiedene Eigenwerte \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\), so kann man eine allgemeine Lösung des diskreten linearen Systems angeben:

\[x_n = c_1 \cdot \lambda_1^n \cdot \vec{v_1} + c_2 \cdot \lambda_2^n \cdot \vec{v_2}\]

mit den freien Konstante \(c_1\) und \(c_2\). \(\vec{v_1}\) ist Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda_1\) und \(\vec{v_2}\) Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda_2\). Der Fixpunkt \(x^\ast=(0,0)\) ist stabil, wenn \(\vert \lambda_{1,2} \vert <1\) Die Eigenwerte der Matrix \(I+A\) lauten:

\[\begin{aligned} \lambda_{1,2}&= \dfrac{(a+1)+(d+1)}{2} \pm \sqrt{\dfrac{((a+1)+(d+1))^2}{4} -((a+1)(d+1)-bc)} \\[2ex] &=1+ \dfrac{a+d}{2} \pm \sqrt{\dfrac{(a+d)^2}{4} -(ad-bc)} \\[2ex] &=1+ \lambda^A_{1,2}\\ \end{aligned}\]

Der Zustand \(x^\ast=(0,0)\) des diskreten Systems ist also insbesondere stabil, wenn die Eigenwerte des kontinuierlichen Systems reell, negativ und betragsmäßig kleiner 1 sind.