Anhang G: Mehrdimensionale Analysis *

Betrachtet man z.B. in einem aquatischen System die Phytoplanktonkonzentration, so wird man feststellen, dass sich die Konzentration über die Zeit ändert. Diese Änderung kann aufgrund von veränderten Wachstumsbedingungen erklärt werden. Zusätzlich ändert sich die Konzentration aber häufig auch dadurch, dass Plankton verdriftet wird (daher ja auch der Name). Das Plankton wird mit der Strömung mitgerissen. Will man dies nun mathematisch beschreiben, so hängt die Phytoplanktonkonzentration also sowohl von der Zeit als auch vom aktuellen Ort ab.

Wir nehmen hier nun vereinfachend an, dass wir nur eine Raumrichtung haben, in die sich das Plankton bewegen kann (Kanal). Dann können wir die Konzentration durch folgende Funktion beschreiben

\[\begin{aligned} f:\mathbb{R}^2 &\longrightarrow& \mathbb{R}\\ (t,x) &\mapsto& f(t,x) \nonumber \end{aligned} \tag{G.1}\]

Kennen wir diese Funktion, so ist zu jeder Zeit t und an jedem Ort x ist die Konzentration \(f\) bekannt. Es handelt sich bei \(f\) um eine sogenannte skalare Funktion, da ihre Funktionswerte Zahlen (nämlich die Konzentration) sind.

G.1 Die Ableitung skalarer 2-dimensionaler Funktionen

Die partielle Ableitung von \(f\) nach \(t\) wird gebildet, indem man \(f\) nach \(t\) ableitet und dabei \(x\) als Konstante betrachtet (analog für die partielle Ableitung nach \(x\)). Die partiellen Ableitungen werden mit

\[\frac{\partial f(t,x)}{\partial t} \quad \text{und} \quad \frac{\partial f(t,x)}{\partial x}\]

bezeichnet.

Achtung: Es handelt sich um runde \(\partial\)’s, um die partiellen Ableitungen zu kennzeichnen.

Fasst man die partiellen Ableitungen in einem Vektor zusammen, so nennt man diesen Vektor Gradient von f:

\[\label{nabla} \nabla f := \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial f(t,x)}{\partial t} \\[-2.5ex] \\ \displaystyle\frac{\partial f(t,x)}{\partial x} \end{pmatrix}\]

Das Zeichen \(\nabla\) heißt Nabla.
Beispiele:

\(f(t,x)=t^2+sin(x): \qquad \displaystyle\frac{\partial f(t,x)}{\partial t} = 2t \qquad \frac{\partial f(t,x)}{\partial x}=cos(x)\)
\(f(t,x)=sin(t\cdot x): \qquad \displaystyle\frac{\partial f(t,x)}{\partial t} = x\cdot cos(t\cdot x) \qquad \frac{\partial f(t,x)}{\partial x}=t \cdot cos(t\cdot x)\)
Angenommen wir geben die Höhe eines Berges über dem Erdboden an, dann können wir dies mit der skalaren Funktion \(h(t,x)\) beschreiben.

Wir stehen am Punkt \((x_0,y_0)\) irgendwo auf dem Berg. Um nun herauszufinden, in welche Richtung es am steilsten nach oben geht, bildet man den Gradienten von \(h\) in \((x_0,y_0)\):

\(\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial h(x_0,y_0)}{\partial t} \\[-2.5ex] \\ \displaystyle\frac{\partial h(x_0,y_0)}{\partial x} \end{pmatrix}\)

Der Gradient zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs.

G.2 Totales Differential

Bisher habe wird die Änderungen in die einzelnen Richtungen getrennt betrachtet. Nun geht es darum die Gesamtänderung zu bestimmen. Angenommen wir kennen die Konzentration zu einer bestimmten Zeit an einem bestimmten Ort und zusätzlich wissen wir, wie sich die Konzentration in der Zeit ändert und wie sie sich im Raum ändert, d.h wir kennen die partiellen Ableitungen. Die Konzentration sei nun also \(f(t,x)\). In einem Zeitschritt \(\Delta t\) wird sich die Konzentration also um

\[\frac{\partial f(t,x)}{\partial t}\cdot \Delta t\]

und wenn man zum Zeitpunkt \(t\) schaut, wie hoch die Konzentration im Abstand von \(\Delta x\) von \(x\) entfernt ist, so ist dies

\[\quad \frac{\partial f(t,x)}{\partial x}\cdot \Delta x\]

Die Gesamtänderung \(\Delta f\) ergibt sich dann aus der Summe beider Terme

\[\Delta f = \frac{\partial f(t,x)}{\partial t} \Delta t + \frac{\partial f(t,x)}{\partial x} \Delta x\]

Macht man nun \(\Delta t\) und \(\Delta x\) immer kleiner, (\(\Delta t \rightarrow dt\) und \(\Delta x \rightarrow dx\)), so gilt

\[ df = \frac{\partial f(t,x)}{\partial t} dt + \frac{\partial f(t,x)}{\partial x} dx = \nabla f \, \scriptscriptstyle\bullet\, \begin{pmatrix} dt \\ dx \end{pmatrix} \tag{G.2}\]

Den Ausdruck G.2 nennt man totales Differential. Der Punkt \(\scriptscriptstyle\bullet\) deutet an, dass es sich um das Skalarprodukt handelt. Bezieht man dieses wiederum auf ein infinitesimal kleines Zeitintervall, so erhält man die totale Ableitung

\[ \frac{df}{dt} = \frac{\partial f(t,x)}{\partial t} + \frac{\partial f(t,x)}{\partial x} \cdot\frac{dx}{dt} \tag{G.3}\]

Man beachte, dass der Ausdruck \(\frac{dt}{dt}\) im ersten Term gleich 1 ist und die totale Ableitung mit steilen d’s geschrieben wird.

Beim totalen Differential handelt es sich um nichts anders als um die Kettenregel. Hängt die Ortskomponente \(x\) nämlich selbst von der Zeit ab, so gilt nach der Kettenregel

\[\frac{df(t,x(t))}{dx} = \frac{\partial f(t,x(t))}{\partial t} \cdot\frac{dt}{dt} + \frac{\partial f(t,x(t))}{\partial x}\cdot \frac{dx(t)}{dt}\]

Sämtliche Überlegungen lassen sich natürlich leicht auf mehrere Raumdimensionen erweitern.

G.3 Massenerhaltung

Betrachtet man ein abgeschlossenes System, also ein System, in das nichts hinein oder hinausfließt, so ändert sich die Gesamtmasse nicht. Trotzdem kann sich natürlich die Massenverteilung in Raum und Zeit ändern. Nehmen wir also wieder als Beispiel die Phytoplanktonkonzentration in einem See, so ist die Gesamtänderung null (sofern der See keine zu oder Abflüsse hat und das Phytoplankton weder wächst noch stirbt). Trotzdem kann sich die lokale Konzentration ändern, wenn das Phytoplankton zB an die Seeoberfläche zum Licht hin wandert oder durch Wind an der Seeoberfläche verdriftet wird. Die Beschreibung durch die skalare Funktion G.1 ist weiterhin sinnvoll (wir nehmen einen eindimensionalen, kanalförmigen See an), wir müssen aber berücksichtigen das sich die Gesamtmasse und damit die mittlere Konzentration im See nicht ändert. Es muss also gelten G.3

\[\frac{df}{dt} = \frac{\partial f(t,x)}{\partial t} + \frac{\partial f(t,x)}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} = 0\]

gelten und somit gilt

\[ \frac{\partial f(t,x)}{\partial t} = - \frac{\partial f(t,x)}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} \tag{G.4}\]

G.4 Reaktionsterme

Es ist natürlich unrealistisch, dass das Phytoplankton nicht wächst. Im allgemeinen hat man also Prozesse wie Wachstum, Fraß und Mortalität. Diese bestimmen die zeitlich Veränderung des Systems. Man bezeichnet die zugehörigen Terme als Reaktionsterme bezeichnet. Physikalisch handelt es sich bei diesen Termen dann um Quellen bzw. Senken. Man kann also dann keine Massenerhaltung erwarten. Die Beziehung G.4 muss dann nicht mehr gelten, sondern man hat

\[ \frac{\partial f(t,x)}{\partial t} = - \frac{\partial f(t,x)}{\partial x} \frac{dx}{dt} + R \tag{G.5}\]

wobei R nun die Reaktionsterme beschreibt.

G.5 Die Ableitung vektorwertiger 2-dimensionaler Funktionen

Gegeben sei eine Funktion, die einen zweidimensionalen Vektor als Argument erhält und einen zweidimensionalen Vektor zurückgibt. Eine solche Funktion ist z.B. beim Lotka-Volterra-Modell gegeben. Das Modell

\[\begin{aligned} \nonumber \dot B &=& r \cdot B \;-\; b \cdot B \cdot R \\\nonumber \dot R &=& b \cdot B\cdot R \; - \;s \cdot R\nonumber \end{aligned}\]

kann man auch in der Form

\[\begin{aligned} \nonumber \begin{pmatrix} \dot B \\ \dot R \end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix} f_1(B,R) \\ f_2(B,R) \end{pmatrix}\nonumber \end{aligned}\]

schreiben. Hier ist nun die rechte Seite durch die Funktion \(f=(f_1,f_2)\) gegeben, deren Komponentenfunktionen
\(f_1(R,B)=r \cdot B \;-\; b \cdot B \cdot R\) und \(f_2(R,B)=b \cdot B\cdot R \; - \;s \cdot R\)
jede für sich skalar ist.

Allgemein handelt es sich also bei einer vektorwertigen 2-dimensionalen Funktion um eine Funktion der Form:

\[\begin{aligned} f:\mathbb{R}^2 &\longrightarrow& \mathbb{R}^2\\ (x,y) &\mapsto& \begin{pmatrix} f_1(x,y) \\ f_2(x,y) \end{pmatrix} \nonumber \end{aligned} \tag{G.6}\]

Die Ableitung der Funktion G.6 ist durch die sogenannte Jacobi-Matrix gegeben:

\[ J(x,y) =\left ( \begin{array}{cc} \frac{\displaystyle\partial f_1(x,y)}{\displaystyle\partial x} & \frac{\displaystyle\partial f_1(x,y)}{\displaystyle\partial y}\\[2ex] \frac{\displaystyle\partial f_2(x,y)}{\displaystyle\partial x} & \frac{\displaystyle\partial f_2(x,y)}{\displaystyle\partial y} \end{array} \right ) \tag{G.7}\]

Beispiel: \(f(x,y) = (x^3\cdot y, y^2\cdot \sin(x))\)

\[J(x,y) =\left ( \begin{array}{cc} 3x^2y & x^3\\ y^2\cdot \cos(x)&2y\cdot \sin(x) \end{array} \right )\]