23  Kinetik chemischer Reaktionen

23.1 Reaktion 1. Ordnung

Die einfachste Form einer chemischen Reaktion ist durch den Zerfall eines Moleküls (z.B. radiokativer Zerfall) gegeben.

\[ X \xrightarrow{k} Y+Z+... \tag{23.1}\]

Hierbei gibt \(k\) die Reaktionsgeschwindigkeit an, die in der Realität u.a. von der Temperatur abhängt. Die stöchiometrische Gleichung 23.1 soll nun in ein mathematisches Modell umgesetzt werden. Hierbei interessiert uns der zeitliche Verlauf der Konzentration der Substanz X. Es ist daher sinnvoll anstelle von Molekülen die Konzentration der Substanz zu betrachten. Die Konzentration d.h. Stoffmenge pro Volumen, wird mit [X] bezeichnet und hat die Einheit mol/l.

Die Änderung der Konzentration von X ist proportional zur vorhandenen Stoffmenge. Die Proportionalitätskonstante ist gerade k und beschreibt die Zerfallsrate in 1/s. Man erhält die DGL

\[ \frac{d}{dt}[X] = - k [X] \tag{23.2}\]

welche die Lösung

\[ [X](t)= [X]_0\cdot e^{-k\cdot t} \tag{23.3}\]

besitzt, wobei \([X]_0\) die anfängliche Konzentration ist. Es handelt sich also tatsächlich um einen Zerfallsprozess. Die zeitliche Änderung der Konzentrationen der Reaktionsprodukte ist genauso groß, aber natürlich positiv. Sie nehmen exponentiell zu:

\[ \nonumber \frac{d}{dt}[Y] = + k [X], \qquad \frac{d}{dt}[Z] = + k [X]\qquad ... \]

23.2 Reaktion 2. Ordnung

Bei der Mehrheit chemischer Reaktionen reagieren zwei Moleküle X und Y miteinander:

\[ X + Y \xrightarrow{k} Z + ... \tag{23.4}\]

Man nimmt an, dass die Reaktionsgeschwindigkeit proportional zur Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Molekül vom Typ X auf ein Typ Y trifft. Damit erhält man die DGL

\[ \frac{d}{dt}[X] = - k [X][Y] \, , \tag{23.5}\]

die die Änderung der Konzentration der Substanz X beschreibt. Hier muss man berücksichtigen, dass der Parameter k, die Reaktionskonstante, nun die Einheit l/(mol s) hat.

Für die weiteren Reaktionspartner ergibt sich:

\[ \frac{d}{dt}[Y] = - k [X][Y] \, , \qquad \frac{d}{dt}[Z] = + k [X][Y]\qquad ... \tag{23.6}\]

Reaktion 2. Ordnung mit einem Ausgangsstoff
Die Reaktion

\[ 2 X \xrightarrow{k} Z + ... \]

führt zu folgender DGL

\[ \frac{d}{dt}[X] = - 2 k [X]^2 \, , \]

23.3 Gleichgewichtsreaktionen

Reaktionen, die in beide Richtungen ablaufen können, heißen Gleichgewichtsreaktionen. Die Gleichgewichtsreaktion

\[ X \xrightleftharpoons[k_2]{k_1} Y + Z \tag{23.7}\]

mit den Reaktionskonstanten \(k_1\) für die Hinreaktion und \(k_2\) für die Rückreaktion wird durch das DGL-System

\[\begin{aligned} \frac{d}{dt}[X] &= - k_1 [X]+ k_2[Y][Z]\\\nonumber \frac{d}{dt}[Y] &= \; \; k_1 [X]- k_2[Y][Z]\\\nonumber \frac{d}{dt}[Z] &= -k_1 [X]- k_2[Y][Z]\nonumber \end{aligned} \tag{23.8}\]

beschrieben.

23.4 Kombinierte Reaktionen mit zweiatomigen Molekülen

Folgende Reaktionen laufen gemeinsam ab:

\[\begin{aligned} X_2 +Y_2 &\xrightleftharpoons[k_2]{k_1} XY_2+X\\ \nonumber X +Y_2 &\xrightarrow{k_3} XY_2+X\\ \nonumber 2X &\xrightarrow{k_4} X_2 \nonumber \end{aligned} \tag{23.9}\]

mit den Reaktionskonstanten \(k_1\), \(k_2\), \(k_3\) und \(k_4\). Das zugehörige DGL-System lautet:

\[\begin{aligned} \frac{d}{dt}[X_2] &= - k_1 [X_2][Y_2]+ k_2[XY_2][X] +k_4[X]^2\\\nonumber \frac{d}{dt}[Y_2] &= - k_1 [X_2][Y_2]+ k_2[XY_2][X] -k_3[X][Y_2] \\\nonumber \frac{d}{dt}[XY_2] &= k_1 [X_2][Y_2]- k_2[XY_2][X] +k_3[X][Y_2] \\\nonumber \frac{d}{dt}[X] &=k_1 [X_2][Y_2]- k_2[XY_2][X] -k_3[X][Y_2] -2k_4[X]^2\\\nonumber \end{aligned} \tag{23.10}\]