Anhang B: Freier Fall und Wurfparabel

B.1 Der freie Fall

Will man beschreiben, in welcher Höhe \(H\) sich eine fallende Kugel zur Zeit \(T\) befindet, wenn sie zur Zeit \(t_0=0\) in der Höhe \(H_0\) losgelassen wird, so wird dies durch das Fallgesetz beschrieben:

Die Geschwindigkeit \(v\) eines fallenden Körpers ist proportional zur Fallzeit \(t\) mit der Proportionalitätskonstanten \(g\) (bei Vernachlässigung der Reibung).

Wenn wir davon ausgehen, dass die Höhe über dem Erdboden positiv angegeben wird und die Geschwindigkeit nach unten wirkt, erhält man den funktionalen Zusammenhang

\[v(t)=-g\cdot t\]

mit der Gravitationskonstanten \(g\approx 9.81\, m/s^2\).

Die Momentangeschwindigkeit \(v\) ist die zeitliche Ableitung des Weges \(s\), also

\[v(t) = \frac{ds(t)}{dt}\]

Daraus ergibt sich für den Weg

\[s(t) = s(t_0) + \int_{t_0=0}^t v(x) \, dx = s_0 - \int_{0}^t g\cdot x \,dx =s_0 - \frac{1}{2} g\cdot x^2 |_{0}^t = s_0 - \frac{1}{2} g\cdot t^2\]

B.2 Die Wurfparabel

Ein Fußball werde vom Boden aus mit einer vorgegebenen Anfangsgeschwindigkeit unter einem vorgegebenen Winkel geschossen. Wie weit fliegt der Ball, bis er zum erstem Mal wieder auf dem Boden aufkommt und wie hoch kommt er, wenn wir die Reibung vernachlässigen?

Gegeben sei also der Winkel \(\alpha\), unter dem der Ball abgeschossen wird, und die Geschwindigkeit \(v\) zur Zeit \(t_0:=0\). Zunächst muss die Anfangsgeschwindigkeit \(v\) in ihre Komponenten zerlegt werden: Die zur Zeit t in x-Richtung zurückgelegte Strecke beträgt

\[x(t) = v_x \cdot t = v \cdot \cos\alpha \cdot t \, .\]

Die zur Zeit t in y-Richtung zurückgelegte Strecke (ohne Berücksichtigung der Schwerkraft) beträgt

\[y(t) = v_y \cdot t = v \cdot \sin\alpha \cdot t \, .\]

In y-Richtung wirkt zusätzlich die Schwerebeschleunigung g. Somit beträgt die Momentangeschwindigkeit zur Zeit t \(v_g(t)=g\cdot t\). Die aufgrund der Schwerkraft zurückgelegte Strecke in y-Richtung beträgt also

\[\int\limits_0^t v_g(s) \, ds = \int\limits_0^t g \cdot s \, ds = \frac{1}{2} gs^2\vert_0^t=\frac{1}{2}gt^2\]

Die gesamte zur Zeit t in y-Richtung zurückgelegte Strecke beträgt also

\[y(t) = v_y \cdot t -\frac{g}{2}\cdot t^2 = v \cdot \sin\alpha \cdot t -\frac{g}{2}\cdot t^2\, .\]

Das Minuszeichen rührt daher, dass die Erdbeschleunigung nach unten wirkt.

Um nun zu bestimmen, wie weit der Ball fliegt, müssen wir herausfinden, bei welchem x-Wert y gerade null wird. Bisher haben wir aber nur Informationen darüber zu welcher Zeit, welcher x- bzw- y-Wert angenommen wird. Daher lösen wird die Gleichung für x nach t auf und setzen das Ergebnis in die Gleichung für y ein.
Nehmen wir mal an, dass wir denn Ball nicht senkrecht in die Höhe schießen, also \(\alpha \ne 90\,°\) ist, und \(\alpha \in [0,90[\) (damit gilt \(\cos\alpha\ne 0\)), so dürfen wir \(x= v \cdot \cos\alpha \cdot t\) zu

\[t= \frac{x}{ v \cdot \cos\alpha}\]

umstellen. Einsetzen ergibt

\[ y(x) = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot x -\frac{g}{ 2v^2 \cdot \cos^2\alpha} \cdot x^2\, . \tag{B.1}\]

Man erhält also tatsächlich eine nach unten geöffnete Parabel. Die Schnittpunkte mit der x-Achse erhält man, indem man nun \(y=0\) setzt und nach \(x\) auflöst.

Man erhält die Lösungen \(x_0\)=0, den Abschusspunkt und

\[ x_e= \frac{2v^2}{g} \cdot \sin\alpha\cdot \cos\alpha \qquad \mbox{, den Auftreffpunkt.} \tag{B.2}\]

Um nun die maximale Flughöhe zu ermitteln, müssen wir den y-Wert an der Scheitelstelle \(x_s\) der Parabel ermitteln. Aus Symmetriegründen gilt \(x_s=x_e/2\) und die maximale Flughöhe \(y_s\) beträgt:

\[ y_s = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot x_s -\frac{g}{ 2v^2 \cdot \cos^2\alpha} \cdot x_s^2\, . \tag{B.3}\]

Zahlenbeispiel: Der Abschusswinkel sei \(\alpha=40\,°\), die Anfangsgeschwindigkeit \(v=50\,km/h\). Die Fallbeschleunigung beträgt auf der Erde \(g=9.81\,m/s^2\).
Zuerst muss die Geschwindigkeit in die richtigen Einheiten umgerechnet werden:

\[50\,\frac{km}{h} =50\cdot\frac{1000 \,m}{3600 \,s}= \approx 13.89\,\frac{m}{s}\]

Einsetzen ergibt (Achtung: Winkel in Grad und nicht in Bogenmaß):

\[x_e \approx 19.36\, m \qquad y_s \approx 4.06\, m\]

Der Fußball fliegt \(19.36\, m\) weit und erreicht eine maximale Flughöhe von \(4.06\, m\).

Betrachten wir nun den Fall, dass der Abschusspunkt nicht auf dem Boden, sondern in Höhe \(H\) vom Boden entfernt ist (Abbildung B.2).

Abbildung B.2: Die Wurfparabel bei Abwurf vom erhöhten Standpunkt aus.

Dann ist die Höhe des Balles durch

\[ y(x) = H + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot x -\frac{g}{ 2v^2 \cdot \cos^2\alpha} \cdot x^2\, . \tag{B.4}\]

gegeben (vergleiche Gleichung B.1).

Man erhält die Flugweite, indem \(y(x)=0\) gesetzt wird und die Gleichung nach \(x\) aufgelöst wird. Es existieren zwei Lösungen, die man durch Lösen der quadratischen Gleichung erhält:

\[ x_{1,2} = \frac{v^2}{g}\cos\alpha \left ( \sin \alpha \pm \sqrt{ \sin^2 \alpha +\frac{2gH}{v^2}}\right)\; , \]

von denen die positive die gesuchte Flugweite \(x_e\) ist.

Für \(H=0\) erhält man wiederum das Ergebnis aus B.2.

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \(\frac{x_1+x_2}{2}\). Er ist unabhängig von \(H\):

\[ x_s= \frac{v^2}{g} \cdot \sin\alpha\cdot \cos\alpha \]

Einsetzen von \(x_s\) in Gleichung B.4 ergibt die maximale Flughöhe (vom Boden aus gemessen):

\[ y_s =H+ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot x_s -\frac{g}{ 2v^2 \cdot \cos^2\alpha} \cdot x_s^2\, . \tag{B.5}\]

B.2.1 Skalierung

Betrachten wir noch einmal den Wurf unter einem Winkel \(\alpha\) vom Erdboden aus. Die Bahngleichung ist nach B.1 durch

\[ y(x) = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot x -\frac{g}{ 2v^2 \cdot \cos^2\alpha} \cdot x^2\, . \]

gegeben. Durch Skalierung (siehe auch Anhang H) kann man die festen Parameter \(g\) und \(v\) eliminieren. Mit

\[X= \frac{g}{2v^2} \cdot x \quad \mbox{und} \quad Y= \frac{g}{2v^2} \cdot y\]

gilt

\[Y(x) = \frac{g}{2v^2} \left (\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot x -\frac{g}{ 2v^2 \cdot \cos^2\alpha} \cdot x^2 \right )\]

und damit

\[Y(X) =\tan \alpha \cdot X -\frac{1}{\cos^2\alpha} \cdot X^2\]

Durch die Skalierung sind die dimensionsbehafteten Größen \(x\) und \(y\) (mit der Einheit Meter) dimensionslos geworden.

B.2.2 Die Einhüllende

Schaut man sich die Graphen der Wurfbahnen zu verschiedenen Winkeln an, so erkennt man, dass die Graphen eine Einhüllende besitzen (gestrichelte Linie in Abbildung B.3).

Abbildung B.3: Wurfparabel zu verschiedenen Winkeln und deren Einhüllende (gestrichelt).

Man erhält die Funktionsvorschrift der Einhüllenden, indem man die Schnittpunkte der Graphen zu den Winkeln \(\alpha\) und \(\alpha + \Delta \alpha\) betrachtet :

\[Y(X,\alpha)=Y(X;\alpha+\Delta \alpha)\]

also

\[\frac{Y(X;\alpha+\Delta \alpha)-Y(X,\alpha)}{\Delta \alpha} =0\]

Für \(\Delta \alpha\) gegen null ergibt sich

\[\frac{\partial Y(X;\alpha)}{\partial \alpha} = 0\]

Aus

\[ Y(X,\alpha) =\tan \alpha \cdot X -\frac{1}{\cos^2\alpha} \cdot X^2 \tag{B.6}\]

ergibt sich

\[\frac{\partial Y(X;\alpha)}{\partial \alpha}= \frac{1}{\cos^2 \alpha}\cdot X - 2 \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos^3\alpha} \cdot X^2\]

Dieses wird null für \(X=0\) (uninteressant) und für

\[1-2\cdot \frac{\sin \alpha_E}{\cos \alpha_E}\cdot X=1-2 \, \tan \alpha_E \cdot X=0\]

also

\[\tan \alpha_E=\frac{1}{2X}\]

Mit \(\cos^2 \alpha=\frac{1}{1+tan^2\alpha}\) ergibt sich durch Einsetzen in Gleichung B.6 die Einhüllende:

\[Y_E(X) = \frac{1}{2X} \cdot X - \left (1+\frac{1}{4X^2}\right ) \cdot X^2 = \frac{1}{4}-X^2\]