Anhang H: Skalierung von Modellen

In ersten Teil dieses Skripts werden fast immer einheitenbehaftete Modelle untersucht. Wir haben zum Beispiel beim Lotka-Volterra-Modell die Wachstumsrate pro Tag und die Beute- und Räuberbiomasse in kg angegeben. Die ist anschaulich und vereinfacht den Vergleich mit Daten aus der Literatur. Für mathematische Untersuchungen ist es sinnvoll, die Zahl der Parameter möglichst zu reduzieren. ohne das qualitative Modellverhalten zu verändern. Parameter, die nur eine Skalierung der Systemvariablen oder der Zeit bewirken, also die betrachtete Einheit festlegen, aber sonst nichts an der Dynamik ändern, werden “wegskaliert” ( “wegnormiert”) . Man erhält damit ein skaliertes Modell oder auch normiertes Modell.

H.1 Skalierung des logistischen Wachstumsmodells

Betrachtet man das Modell des logistischen Wachstums einer Bakterienpopulation mit der Zustandsgröße x in mg, und der Zeiteinheit von 20 min nach 4.3

\[\frac{dx(t)}{dt}=r \cdot \left (1-\frac{x(t)}{K} \right ) \cdot x(t)\]

so hat die Wachstumsrate r die Einheit \(\frac{1}{20 min}\) und die Bakterienkapazität K die Einheit mg. Zunächst führen wir eine neue Zustandsvariable \(y=\frac{x}{K}\) ein. Wir betrachten also anstelle der einheitenbehafteten Größe x die nun dimensionslose Größe y. Man sagt, man betrachtet die Bakterienbiomasse nun in Einheiten der Kapazität. Die Größe y ist dimensionslos, da wir hier mg durch mg teilen. Für die neue Zustandsvariable gilt

\[\frac{dy(t)}{dt}= \frac{d\left( \frac{x(t)}{K}\right) }{dt}= \frac{1}{K} \cdot \frac{dx(t)}{dt} =\frac{r}{K} \cdot \left (1-\frac{x(t)}{K} \right ) \cdot x(t)\]

da K eine Konstante ist. Jetzt ersetzt man auf der rechten Seite alle x durch \(y\cdot K\) und kürzt:

\[\frac{dy(t)}{dt}=\frac{r}{K} \cdot \left (1-\frac{y(t)\cdot K}{K} \right ) \cdot y(t)\cdot K = r\cdot \left (1-y(t) \right ) \cdot y(t)\]

Man hat nun also die Zustandsgröße skaliert und hat nun einen Parameter weniger. Die Kapazität des neuen Modells ist nun 1. Genauso verfährt man mit der Zeit. Man lässt die Zeit nun in Einheiten von r laufen und erhält die neue Zeit s:

\[s(t)= r \cdot t \quad also \quad \frac{ds}{dt} = r\]

Nach der Kettenregel gilt

\[\frac{dy(t)}{dt}= \frac{dy(s)}{ds}\cdot\frac{ds}{dt} = r \cdot\frac{dy(s)}{ds}\]

Umstellen ergibt

\[\frac{dy(s)}{ds}= \frac{1}{r} \cdot \frac{dy(t)}{dt}\]

Zusammengefasst erhält man das neue skalierte Modell, das nun keine Parameter mehr hat.

\[\frac{dy(s)}{ds}= \left (1-y(s) \right ) \cdot y(s) \quad kurz \quad \dot y= \left (1-y \right ) \cdot y\]

Bei Modellsystemen kann man maximal einen Parameter durch die Zeitnormierung und jeweils einen Parameter pro Zustandsvariable los werden.

H.2 Skalierung des Lotka-Volterra-Modells

Das Räuber-Beute-Modell (5.1) nach Lotka und Volterra aus Abschnitt 5.1

\[\begin{aligned} \dot B &= r \cdot B \;-\; b \cdot B \cdot R \\ \dot R &= b \cdot B\cdot R \; - \;s \cdot R \end{aligned}\]

hat den nicht-trivialen Fixpunkt \((\frac{s}{b},\frac{r}{b})\). Das System wird nun so skaliert, dass dieser Fixpunkt bei \((1,1)\) liegt. Dazu werden die neuen Zustandsvariablen \(x= \frac{B\phantom{^\ast}}{B^\ast}= \frac{b}{s} \cdot B\) und \(y=\frac{R\phantom{^\ast}}{R^\ast} = \frac{b}{r} \cdot R\) eingeführt. Diese neuen Zustandsvariablen sind dimensionslos, da sich die Einheit von \(B\) und \(B^\ast\) kürzen lässt (analog für R). Für die neuen Zustandsvariablen gilt nun, da die Faktoren \(\frac{b}{s}\) und \(\frac{b}{r}\) Konstanten sind,

\[\begin{aligned} \dot x =\frac{b}{s} \cdot \dot B &= \frac{b}{s} \cdot \left( r \cdot B \;-\; b \cdot B \cdot R \right) \\ \dot y = \frac{b}{r} \cdot \dot R &= \frac{b}{r} \cdot \left( b \cdot B\cdot R \; - \;s \cdot R \right) \end{aligned}\]

Man erhält mit \(x= \frac{b}{s} \cdot B\) und \(y = \frac{b}{r} \cdot R\) zunächst das System

\[\begin{aligned} \dot x =\frac{b}{s} \cdot \dot B &= r \cdot x \;-\; b \cdot x \cdot R = r \cdot x \;-\; r \cdot x \cdot y \\ \dot y = \frac{b}{r} \cdot \dot R &= b \cdot B\cdot y \; - \;s \cdot y = s \cdot x\cdot y \; - \;s \cdot y \end{aligned}\]

in dem auch noch die Zeit skaliert werden kann. Dazu wird die neue Zeit \(\tau= r \cdot t\) betrachtet¹. Man lässt die Zeit nun in Einheiten von r “laufen”. Mit

\[\frac{dx(t)}{dt}= \frac{dx(\tau)}{d\tau}\cdot\frac{d\tau}{dt} = r \cdot\frac{dx(\tau)}{d\tau} \qquad und \qquad \frac{dy(t)}{dt}= \frac{dy(\tau)}{d\tau}\cdot\frac{d\tau}{dt} = r \cdot\frac{dy(\tau)}{d\tau}\]

gilt

\[\begin{aligned} \frac{dx(\tau)}{d\tau} &= \frac{1}{r}\cdot \left( r \cdot x \;-\; r \cdot x \cdot y \right) = x \;-\; x \cdot y \\ \frac{dy(\tau)}{d\tau} &= \frac{1}{r}\cdot \left( s \cdot x\cdot y \; - \;s \cdot y \right) = \frac{s}{r}\cdot \left( x\cdot y \; - y \right) \end{aligned}\]

Das skalierte (normierte, dimensionslose) Modell lautet nun mit dem neuen Parameter \(a=\frac{s}{r}\), wobei sich die Notation mit dem Punkt nun auf die neue Zeit bezieht:

\[\begin{aligned} \dot x &=x \;-\; x \cdot y \\ \dot y &= a\cdot \left( x\cdot y \; -y\right) \end{aligned}\]

H.3 Skalierung des Rosenzweig-MacArthur-Modells

Das allgemeine Räuber-Beute-Modell (5.3) nach Rosenzweig und MacArthur Abschnitt 5.1

\[\begin{aligned} \dot B &= \; r \cdot B \cdot \left (1- \frac{B}{K} \right )\;-\; b\cdot \frac{B}{B+M} \cdot R \\[1ex] \dot R &= n \cdot b\cdot \frac{B}{B+M} \cdot R \; - \;s \cdot R \end{aligned}\]

kann mit \(\varepsilon = \frac{1}{K}\) und \(\kappa = \frac{1}{M}\) zu

\[\begin{aligned} \dot B &= \; r \cdot B \cdot (1- \varepsilon \cdot B )\;-\; c\cdot \frac{B}{1+\kappa\cdot B } \cdot R \\[1ex] \dot R &= \gamma \cdot \frac{B}{1+\kappa\cdot B } \cdot R \; - \;\delta \cdot R \end{aligned}\]

umformuliert werden, wobei nun \(c= \frac{b}{M}\), \(\delta=s\) und \(\gamma=n\cdot c\) gilt. Die hat den Vorteil, dass das Modell für \(\varepsilon = 0\) und \(\kappa = 0\) in das Lotka-Volterra-Modell übergeht.

Durch Normierung von \(B\), \(R\) und der Zeit \(t\) lässt sich die Zahl der freien Parameter auf drei reduzieren. Man kann ganz ähnlich wie beim Lotka-Volterra-Modell in (H.2) verfahren, aber es ist nicht ratsam, den positiven stationären Zustand auf (1, 1) zu fixieren, da seine Existenz von den verbleibenden Parametern abhängt. Mit den neuen Zustandsvariablen \(B_N=\frac{s}{n\cdot c}\), \(R_N=\frac{r}{c}\) und der neuen Zeit \(t_N =\frac{1}{r}\) erhält man eine brauchbare Skalierung des Modells (Achtung, viel Rechenaufwand ;)

\[\begin{aligned} \dot B &=\left(\left(1-\varepsilon \;B\right)-\frac{R}{1+\kappa B}\right)\cdot B\\\nonumber \dot R & =\delta \cdot \left(\frac{B}{1+\kappa B}-1\right)\cdot R\nonumber \end{aligned} \tag{H.1}\]

Hierbei wurden dann die Ns bereits wieder weggelassen. Das neue Modell hat nur noch drei Parameter.

Da mit s bereits die Sterberate benannt ist, wird die neue Zeit \(\tau\) genannt↩︎