1  Einführung

1.1 Was ist ein Modell ?

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Modelle kommen in allen Lebensbereichen vor. Ein Globus ist ein Modell der Welt. Der Globus stellt auf den ersten Blick die gesamte Erdkugel dar. Es fehlen aber sehr viele Dinge, wie zum Beispiel Pflanzen, Tiere, Menschen, Kriege etc. Der Globus ist auf eine gewisse Art und Weise eine idealisierte Darstellung der Welt. Ähnlich verhält es sich mit Teildarstellungen der Erde. Sowohl ein Landschaftsbild als auch eine Straßenkarte stellen einen Teil der Welt dar. Und auch Wettermodelle bilden einen Teil unserer Welt ab. Sie alle haben charakteristische Merkmale. Ein wesentliches Merkmal vieler Modelle ist die Vereinfachung, d.h. dass nur die wesentlichen Aspekte durch das Modell beschrieben werden. Beschreibt man einen Würfel mit dem mathematischen Modell \(V=a^3\), so beschreibt das Modell das Volumen V (bei gegebener Kantenlänge a) aber nicht die Farbe oder das Material des Würfels.

Ein weiteres Merkmal vieler Modelle ist die Skalierung in Raum und Zeit. Ein Atommodell stellt das Atom in einer Größe dar, die wir sehen können, ein Globus ist so klein, dass er bequem auf dem Schreibtisch stehen kann. Eine zeitliche Skalierung ist beim Wettermodell notwendig, da man meistens eine Vorhersage erhalten möchte. Das Modell muss also schneller als die Realität sein. Eine Konsequenz der Vereinfachung und Skalierung ist der begrenzte Gültigkeitsbereich der Modelle. So gelten die Newtonschen Gesetze nicht nahe der Lichtgeschwindigkeit, ein Globus taugt nicht zur Navigation im Straßenverkehr und ein in Klimamodell wird keine Wettervorhersage liefern. Somit sind Modelle also nicht eindeutig sondern sie sind zweckgebunden. Ein und derselbe Aspekt können je nach Zielsetzung durch unterschiedliche Modelle dargestellt werden. Man könnte also einen Definitionsversuch wagen:

Ein Modell ist ein Objekt oder Konzept, das benutzt wird, um einen realen Aspekt so darzustellen, dass er in Hinblick auf eine Zielfrage verstanden werden kann.

1.2 Was ist Modellbildung – mathematische Modellierung

Die mathematische Modellbildung oder mathematische Modellierung versucht Teile der Realität mathematisch begreifbar zu machen. Die mathematische Modellierung ist nicht an eine spezielle Wissenschaft gebunden und wird auf Fragestellungen in Naturwissenschaften, Technik, Ökonomie, Soziologie etc. angewendet. In der (Natur)-Wissenschaft werden Modelle aufgestellt, um eine vorgegebenen Fragestellung zu beantworten. Wie beim Modell selbst bereits erwähnt ist hierbei die Zielsetzung von entscheidender Bedeutung.

Jedes Modelliervorhaben braucht eine Leitfrage oder ein Ziel!

Die Art und die Komplexität eines Modells hängt von dieser Zielvorgabe ab. Ein Modell soll einen Teilaspekt der Realität so darstellen, dass es die Information liefern kann, die zur Beantwortung einer Leitfrage notwendig ist. Zum Beispiel taugt ein Klimamodell nicht zur Wettervorhersage, ein Regentropfenmodell aber auch nicht.

1.2.1 Arten von Modellen

Die Einteilung von Modellen in unterschiedliche Arten kann auf verschiedene Weise geschehen und ist keinesfalls eindeutig. Eine Möglichkeit ist die Unterteilung in

• qualitative Modelle, die Grundprinzipien eines Systems beschreiben und meistens einheitenfrei und normiert sind, und

• quantitative Modelle, die z.B. Budgetieren ermöglichen und meistens einheitenbehaftet sind.

Grob gesprochen ist das Bild einen Schokoladenkuchens ein eher qualitatives Modell, das Backrezept ein quantitatives. Eng damit verknüpft ist die Aufteilung in

• einfache Modelle, die Prinzipien erklären, und

• komplexe Modelle, die günstigstenfalls Vorhersagen erlauben.

Ein einfaches Modell wäre z.B. die Beschreibung des radioaktiven Zerfalls durch die Exponentialfunktion oder das Wechselspiel von Arten in der theoretischen Ökologie. Einfache Modelle sind häufig qualitative Modelle. Komplexe Modell wären z.B. Klimamodelle, die die Atmosphäre und die Ozeanströmungen berücksichtigen. Komplexe Modelle sind häufig quantitative Modelle.

Eine wichtige Unterscheidung besteht darin, ob man Messdaten mithilfe eines Modells beschreiben möchte, ohne deren Zustandekommen zu berücksichtigen oder ob man aufgrund der Prozesse, die zu den Daten geführt haben, ein Modell erstellt. Man unterscheidet dann zwischen

• empirischen Modelle, die “nur” einen funktionalen Zusammenhang der Messdaten liefern und

• prozessorientierten Modelle, die versuchen die Prozesse eines Systems zu beschreiben.

Ein weit verbreitetes Beispiel für ein empirisches Modell ist die lineare Regression (Methode der kleinsten Quadrate). Ein prozessorientiertes Modell wäre z.B. ein Klimamodell, das u.a. die Beschreibung der Verdunstung und der damit verbundenen Wolkenbildung berücksichtigt

Eine eher technische Unterteilung, die aber weitreichende Konsequenzen hat, ist die Unterteilung in

• diskrete Modelle, die den Zustand eine Systems in vordefinierten Zeitschritten bestimmen, wie z. B. Altersklassenmodelle, die die Bevölkerungsstruktur von Jahr zu Jahr berechnen, und

• kontinuierliche Modelle, die die Änderung des Systemzustands bestimmen und in Form von Differentialgleichungen aufgeschrieben werden.

Altersklassenmodelle, die die Bevölkerungsstruktur von Jahr zu Jahr berechnen, sind meistens diskrete Modelle. Ein Modell zur Bestimmung der Schadstoffkonzentration in einem See würde man eher kontinuierlich ansetzen.

Man unterscheidet weiterhin

• deterministische Modelle, die nach dem Prinzip “aus A folgt B” arbeiten und

• stochastische Modelle, die die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten von Ereignissen bestimmen, z.B. die Regenwahrscheinlichkeit.

Ein typisches stochastisches Modell steckt hinter der Regenwahrscheinlichkeit. Aber nicht jedes Modell, das Zufallskomponenten besitzt, ist gleich ein stochastisches Modell ist. Dann gibt es verschiedene Arten räumlicher Modelle, wie z.B.

• 0D- Modelle, die keine räumliche Aufteilung des Untersuchungsgebiets berücksichtigen und meistens bei gut durchmischten Systemen angewendet werden und

• räumliche höherdimensionale Modelle (1D, 2D, 3D), die die räumlichen Unterschiede an verschieden Orten des Untersuchungsgebiets berücksichtigen.

Für die Beschreibung von Chemostaten und Planktotronen reicht häufig ein 0D-Modell. Zur Beschreibung von Tidegewässern kommt man meist nicht um ein höherdimensionales Modell herum.

Man erkennt an diesem Versuch der Klassifizierung schon, dass eine eindeutige Definition der Zugehörigkeit eines Modells nicht möglich ist. Einfache Modelle können sowohl diskret als auch kontinuierlich sein, Auch ein hochaufgelöstes 3D-Modell kann ein einfaches Modell sein, wenn z.B. die Verteilung von “marine snow” nur das verdriften der Partikel im Strömungsfeld beschreibt und die Struktur und Fraktalität der Partikel außer acht lässt.

Weiterhin kann man Modelle nach ihrem mathematischen “Charakter” unterscheiden. Es gibt z.B.

• Differenzengleichungssysteme - diskrete Modelle, die die Änderung des Systemzustand beschreiben,

• Differentialgleichungssysteme (dynamische Systeme) - kontinuierliche Modelle in der Zeit,

• partielle Differentialgleichungssysteme - kontinuierliche Modelle in Raum und Zeit,

• agentenbasierte Modelle - zumeist diskrete Systeme, die die aktive Bewegung von z.B. Personen oder KFZ etc. beschreiben,

• Netzwerkmodelle - beschreiben die Beziehung von Objekten, z.B. die Verlinkung von Webseiten im Internet.

1.2.2 Modell-Simulation

Ergebnisse von Modellen erhält man durch eine Simulation. Hierzu wird ausgehend von einer Anfangskonstellation (Anfangswerte) sukzessive das Systemverhalten zu späteren Zeitpunkten bestimmt. Diese Simulation liefert eine Realisierung des Modells. Das Modell gibt die Einsicht in die Zusammenhänge, die Simulation liefert ein Ergebnis, das z.B. mit Messdaten verglichen werden kann. Wird dieser Vergleich für ausreichend gut befunden, so kann das Modell den beschriebenen Sachverhalt reproduzieren. Zeigt der Vergleich von Simulationsergebnis mit den Daten Abweichungen, so muss dass Modell verbessert werden.

Grob könnte man sagen, dass das Backen des Kuchens anhand des Backrezepts eine Simulation oder Realisierung ist.

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