Extrapolation von Tracern
Bei Modellen, die den Ozean beschreiben, werden häufig sogenannte Punkt-Tracer betrachtet, die im Strömungsfeld verdriftet werden und keine Ausdehnung oder gar Volumen besitzen. Solche Langrangschen Modelle bilden die physikalischen Eigenschaften akkurat ab. Möchte man allerdings auch die biologische Seite mit betrachten, werden Modelle verwendet, bei denen an beliebig vielen Stellen des Ozeans die Konzentrationen der biologischen Größen wie Nährstoffe und Plankton mit berechnet werden. Solche Modelle sind sehr rechenintensiv. Möchte man nun zusätzlich auch noch den Austausch von Nährstoffen mit dem Sediment am Ozeanboden simulieren wird es kompliziert. Da man in der Regel daran interessiert ist, wie viele Nährstoffe vom Wasser in das Sediment übergehen und umgekehrt, muss ein Modell sicherstellen, dass bei der Berechnung nichts verloren geht. Man sagt, das Modell soll massenerhaltend sein.
Eine Idee, die auf der Hand liegt ist ein Tracermodell zu verwenden und die Tracer mit einem biologischen Modell, wie z.B einem NPZ-Modell auszustatten, und sie dann mit dem Meeresboden interagieren zu lassen.
Dieses Konzept wurde bei der Entwicklung des komplexen Ökosystemmodells EcoTiM verfolgt. Leider lief das Modell zunächst nicht massenerhaltend, sondern der Modellozean lief entweder mit Nährstoffen voll oder er lief leer. Es hat fast ein Jahr gedauert, bis wir gemerkt haben, dass wir keinen Programmierfehler sondern einen Denkfehler gemacht haben.
Modellidee
Eine Tracer-Modell des Ozeans wird nicht mit Punkttracern sondern mit volumenbehafteten Tracern aufgesetzt. Jeder dieser Tracer ist ein kleines Ökosystem, in dem ein biologisches Modell läuft. Jeder Tracer soll nun in jedem Zeitschritt zusätzlich mit dem Meeresboden interagieren. Aus dem Volumen des Tracers werden Nährstoffe an den Meersboden abgebeen bzw. werden aus dem Meeresboden aufgenommen oder abgegeben. Um nun die Menge der Nährstoffe, die aus dem Ozean an den Meeresboden abgegeben bzw. aus diesem aufgenommen werden, sollen die Tracer auf das Gesamtvolumen des Ozeans hochgerechnet werden. Wir geben also eine Tracerzahl vor und Teilen das Volumen des Ozeans auf die Tracer gleichmäßig auf. Diese Idee funktioniert solange, solange das Ozeanvolumen konstant ist.
Dies ist aber bei Tidegewässern, wie der südlichen Nordsee oder dem Wattenmeer, nicht der Fall. In diesem Fall ist das Volumen der einzelnen Tracer variabel. Sie haben je nach Wasserstand mal mehr mal weniger Volumen.
Leider ist mit diesem Ansatz kein massenerhaltendes Modell machbar, wie im folgenden gezeigt wird.
Warum es unmöglich ist, von Punkt-Tracern zu extrapolieren
Es wird eine beliebige Anzahl von (Punkt-)Tracern betrachtet, die das Ozeangebiet repräsentieren und die gewünschten Eigenschaften, z. B. die Nährstoffkonzentration, tragen. Das von einem einzelnen Tracer repräsentierte Volumen beträgt:
\(V_{T}=\frac{V}{N}\)
wobei \(V\) das Gesamtvolumen und \(N\) die Anzahl der Tracer ist. Wenn das Gebiet durch eine festgelegte Fläche bestimmt wird, ist die Anzahl der Tracer, die das Gebiet repräsentieren, proportional zum Wasserstand. Idealerweise ist \(V_{T}\) konstant, aber in der Praxis kann dies bei variablem Wasserstand nicht erreicht werden, da der Wasserstand eine kontinuierliche Größe ist, während die Anzahl der Tracer eine diskrete Zahl darstellt. Aufgrund dieses Diskretisierungsfehlers ist das Volumen \(V_{T}\) eines Tracers eine Funktion des Wasserstands.
Um die daraus resultierende Problematik besser zu verstehen, wird der Einfachheit halber angenommen, dass das Gesamtvolumen V durch einen einzigen Tracer dargestellt wird. In diesem Fall ist das durch den Tracer repräsentierte Volumen gegeben durch:
\(V_{T}(t)=A\cdot h(t)=V(t)\)
mit der Fläche A und dem zeitabhängigen Wasserstand h(t).
Zur Vereinfachung wird die Fläche A auf 1 normiert werden. Unterhalb der Fläche wird ein Sediment angenommen, das einen absinkenden Nährstoff nach und nach wieder abgibt.
Ist P die Nährstoffkonzentration in der Wassersäule (in mmol \(m^{-3}\)) und B die Konzentration desselben Nährstoffs im Sediment (in mmol \(m^{-2}\)), so kann das System durch folgende Differentialgleichungsmodell beschrieben werden:
\(\begin{aligned}\dot {P}&=f_{P}(P,B)\\ \dot {B}&=f_{B}(P,B)\end{aligned}\)
wobei \(f_{P}\) und \(f_{B}\) sowohl die Austauschprozesse zwischen der Wassersäule und dem Sediment als auch alle Reaktionsterme beschreiben. Es wird angenommen, dass das System keine Quellen oder Senken enthält, so dass diee Gesamtmasse M des Nährstoffs in diesem abgeschlossenen System konstant bleibt, wenn die Wassertiefe konstant ist. Die Gesamtmasse M (in mmol \(m^{-2}\)) ergibt sich aus der Konzentration in der Wassersäule multipliziert mit der Wassertiefe plus der Masse im Sediment:
\(M=P\cdot h+B\)
Nun wird angenommen, dass sich der Wasserstand über die Zeit periodisch ändert. Die Wassertiefe h wird als eine zeitabhängige Funktion \(h(t)\) betrachtet. Die Funktion \(h(t)\) ist eine periodische Funktion mit \(h(t) > 0\) für alle Zeiten \(t \ge 0\) und der Periode \(\tau > 0\). Dadurch wird die Masse im System ebenfalls zeitabhängig.
Massenerhaltung in diesem Sinne bedeutet nun, dass zu allen Zeiten \(t\) und \(t+n\,\tau\), \(n \in \mathbb{N}\), die gleiche Masse im System vorhanden ist (z. B. ist die Masse bei jedem Hochwasser gleich):
\(M(t+n\,\tau )=M(t)\qquad \text{für alle }\;t\ge 0,\;n\in \mathbb{N}\,.\)
Folglich ist die Massenänderung \(\dot {M}(t)\) ebenfalls periodisch mit der Periode \(\tau\), da für jede differenzierbare und periodische Funktion \(f\) mit der Periode \(\tau\) auch die Ableitung \(f'\) periodisch mit der Periode \(\tau\) ist.
\(\begin{aligned}f^{\prime }(t+\tau )&=\lim _{h\rightarrow 0}\frac{f(t+\tau +h)-f(t+\tau )}{h}\\ &=\lim _{h\rightarrow 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}=f^{\prime }(t)\,.\end{aligned}\)
Hieraus folgt, dass auch P(t) und B(t) periodische Funktionen mit der Periode \(\tau\) sein müssen.
Unter Berücksichtigung von \(h(t)=h(t+\tau)\) und \(\dot{h}(t)=\dot{h}(t+\tau)\) für alle \(t\ge0\) gilt unter Anwendung der Produktregel:
\(\begin{aligned}\dot {M}(t)&=\dot {P}(t)\cdot h(t)+P(t)\cdot \dot {h}(t)+\dot {B}(t)\\ \dot {M}(t+\tau )&=\dot {P}(t+\tau )\cdot h(t)+P(t+\tau )\cdot \dot {h}(t)+\dot {B}(t+\tau )\,.\end{aligned}\)
Die Periodizität von M und der Koeffizientenvergleich der unabhängigen Funktionen \(h(t)\), \(\dot {h}(t)\) und der Identität impliziert, dass \(P(t)\), \(\dot {P}(t)\) und $B(t) ebenfalls periodische Funktionen mit der Periode \(\tau\) sein müssen. Über die obige Massengleichung gilt dies dann auch für \(B(t)\).
Folglich kann ein Modell, das Lagrangesche Tracer verwendet, die zu jedem Zeitpunkt das tatsächliche Gesamtvolumen repräsentieren, nur dann massenerhaltend an ein Sedimentmodell gekoppelt werden, wenn alle Zustandsvariablen der Periodizität des Volumens folgen. Reale Systeme mit weiteren Reaktionstermen, wie z.B. das Wachstum von Phytoplankton, die meist durch zeitabhängige Funktionen (z. B. die Wassertemperatur) angetrieben werden, können diese Bedingung niemals erfüllen.
Beispiel
Um dieses Phänomen genauer zu erklären, wird ein System betrachtet, das nur durch Sedimentation bestimmt wird. In diesem Fall hat das System folgende Form:
\(\begin{aligned}\dot {P}&=-\sigma \cdot \frac{1}{h}\cdot P\\ \dot {B}&=\sigma \cdot \frac{1}{h}\cdot P\cdot h\end{aligned}\)
wobei \(\sigma > 0\) die Sinkgeschwindigkeit des sedimentierenden Materials mit der Konzentration P ist. Wenn keine weiteren Prozesse berücksichtigt werden, akkumuliert das gesamte Material auf lange Sicht im Sediment. Bei konstanter Tiefe ist dies in der Tat der Fall.
Betrachtet man nun die Tiefe als eine beliebige periodische Funktion \(h(t) > 0\) für alle \(t \ge 0\) mit einer Periode \(\tau>0\) und der Anfangsbedingung \(P(0)=P_0\) und \(B(0)=B_0\), verhält sich das System wie folgt:
\(\begin{aligned}P(t)&=P_{0}\;e^{-\sigma \int _{0}^{t}\frac{1}{h(s)}\,ds}\\ B(t)&=\sigma \int _{0}^{t}P(s)\,ds+B_{0}\end{aligned}\)
Für die Änderung der Masse \(\dot {M}\) unter Berücksichtigung von \(\dot{h}(t)=\dot{h}(t+\tau)\) gilt:
\(\begin{aligned}\dot {M}(t)&=P(t)\;\dot {h}(t)\quad \text{und}\quad \dot {M}(t+\tau )=P(t+\tau )\;\dot {h}(t)\,.\end{aligned}\)
Für die Konzentration von \(P\) gilt:
\(\begin{aligned}P(t+\tau )&=P_{0}\;e^{-\sigma \int _{0}^{t+\tau }\frac{1}{h(s)}\,ds} =P(t)\;e^{-\sigma \int _{t}^{t+\tau }\frac{1}{h(s)}\,ds}\;<\;P(t)\,.\end{aligned}\)
Die Betrachtung der Massenänderung führt zu:
\(\dot {M}(t+\tau )<\dot {M}(t)\qquad \text{für alle }\;t\ge 0\,,\)
und damit zu:
\(M(t+\tau )\ne M(t)\)
Die Gesamtmasse bleibt also nicht erhalten und nimmt hier mit der Zeit ab.
Ein ähnliches Ergebnis wird erzielt, wenn ein Remineralisierungsprozess angenommen wird. In diesem Fall nimmt die Gesamtmasse mit der Zeit zu. Nur wenn beide Prozesse innerhalb eines Systems zu allen Zeiten im Gleichgewicht sind, bleibt die Masse erhalten. In realen Systemen kann dies nicht erwartet werden.
Man kann dieses Phänomen noch besser verstehen, wenn man sich ein System vorstellt, das nur zwei mögliche Wasserstände hat - Hochwasser und Niedrigwasser. Die Masse des absinkenden Materials ist während des Hoch- und Niedrigwassers gleich, da die Sedimentation von der Sinkgeschwindigkeit und nicht von der Wassertiefe abhängt. Die resultierende neue Konzentration in der Wassersäule bei Hochwasser höher als bei Niedrigwasser. Dies liegt daran, dass der Anteil des absinkenden Materials am Gesamtmaterial in geringer ist als bei Hochwasser und folglich zu einer geringen Konzentrationsänderung führt.
Wird die Konzentration in der gesamten Wassersäule durch Extrapolation mit dieser höheren Konzentration während der Hochwasserphase identifiziert, nimmt die Masse des Systems zu. Während des Hochwassers erhält das System also zusätzliche Masse aus einem virtuellen äußeren Reservoir. Während der Ebbe verhält es sich umgekehrt: Das System verliert Masse. Kommen nun Prozesse hinzu, die nicht dieser Periodizität folgen, entsteht ein Massendefekt.
Fazit
Die Projektion von Punkt-Tracern auf ein reales Volumen ist unzulässig.
Das Problem wurde in EcoTiM dadurch gelöst, dass ein Austauschmodell zwischen Ozean und Ozeanboden erstellt wurde, dass die Massenerhaltung sicher stellt. Das Modell ist in (Kohlmeier and Ebenhöh 2007) beschrieben.